AS

SM g •** +(«-*)'

Cette formule est tout à fait différente de celle que nous avons obtenue dans le premier cas.

78 LIVRK PREMIER.

58. Exemple V. — On sait comment on mesure les températures à l'aide d'un thermomètre centigrade gradué en degrés, dans les deux sens à partir de 0°, température de la glace fondante. Par suite, si n est le nombre de degrés qui correspond à une température déterminée, on dit que la température est de n degrés au-dessus ou au-dessous de zéro, suivant les cas. Plus simplement, on peut convenir de mesurer la température par le nombre algébrique que Ton obtient en affectant le nombre arithmétique n du signe -f- ou du signe —, suivant que Ton se trouve au-dessus et au-dessous de zéro : un seul nombre algébrique définit donc, grâce à cette convention, la température.

Ceci posé, on sait que Ton appelle coefficient de dilatation linéaire d'une règle solide, le rapport constant qui existe entre l'allongement ou le raccourcissement de cette règle, h partir de 0°, quand la température monte ou descend, et sa longueur à 0°, divisé par la valeur absolue de la température exprimée en degrés. Donc, si l est la longueur de la règle à 0°, / sa longueur à la température t, t étant un nombre algébrique, m le coefficient de dilatation, on a, dans tous les cas, la formule générale :

d'où

l = l (l-{-mt).

De même, si l' est la longueur de la règle à la température /', on a :

d'où

\-\-mt'

i-\-mt

et cela quels que soient les nombres t et *', positifs ou négatifs.

59. Exemple VI. — Soit une droite X'X (fig. 19); à un certain instant un mobile se trouve en M sur la

droite ; on demande quelle est sa position à une époque donnée, sachant qu'il se meut d'un mouvement uniforme, c'est-à-dire qu'il parcourt des distances égales pendant des temps égaux, en allant toujours dans le même sens.

Fig. 19.

Nous fixerons la position du mobile sur la droite comme au n° 50, en choisissant un sens positif sur X'X, et un point fixe O sur cette droite ; la valeur algébrique du segment OM définit complètement le point, M ; nous l'appellerons a.

De même, si M' est la position cherchée du mobile, nous

définirons M' par la valeur algébrique x du segment OM 7 .

Le temps est une grandeur susceptible d'être comptée dans deux sens, avant ou après un instant particulier, appelé origine du temps.

Il est donc commode de mesurer le temps à un instant donné par un nombre algébrique, savoir le nombre arithmétique qui mesure l'intervalle de temps qui s'écoule entre l'origine du temps et 1 instant donné, affecté du signe + ou du signe — , suivant que l'instant donné est postérieur ou antérieur à l'origine du temps. De cette façon, à chaque époque particulière correspond un nombre algébrique, et réciproquement.

Ceci posé, nous appellerons t la mesure algébrique du temps au moment où le mobile est en M, et t sa mesure algébrique à l'époque donnée, époque qui peut précéder ou suivre l'époque t .

Le mobile est animé d'un mouvement uniforme, c'està-dire qu'il parcourt toujours des distances égales pendant des temps égaux ; si donc il parcourt pendant l'unité de temps une distance mesurée par V, il parcourra, pendant un intervalle de temps mesuré par T, une distance mesurée par VT. Mais pour connaître complètement la loi du déplacement du mobile, il faut encore savoir dans quel sens

80 LIVRE PRËMIEK.

il se déplace sur X'X ; nous affecterons donc du signe -|ou du signe — le nombre arithmétique V, suivant que le mobile se déplace dans le sens positif X'X ou dans le sens contraire, et si v est le nombre algébrique ainsi obtenu, nous dirons que v est la mesure algébrique delà vitesse du mobile. Il est clair que, connaissant u, on connaît la loi du déplacement du mobile.

Ceci posé, il est évident que la longueur MM' est mesurée par le produit des valeurs absolues de v et de l'intervalle de temps (t — t ).

D'autre part le segment MM' est manifestement positif : 1° si v est positif, et si l'époque t est postérieure à t ; 2° si v est négatif, et si l'époque / est antérieure à t ; le

segment MM' est négatif : i° si v est positif et si l'époque t est antérieure à t ; 2° si v est négatif et si l'époque t est postérieure à t . Gomme d'ailleurs le nombre l — t est positif ou négatif suivant que l'époque t est postérieure ou antérieure à l'époque t , on voit, d'après la règle des signes pour la multiplication, que, dans tous les cas, la valeur

algébrique du segment MM' est égale au produit des deux nombres algébriques v et t — / . Ainsi, on a toujours :

D'ailleurs

et par suile

MM'=t>(*— *.)•

OM' = OM-f MM',

telle est la formule cherchée ; elle convient à tous les cas possibles.

Application. — Un train qui fait 60 kilomètres h l'heure va de Bordeaux à Paris; à onze heures du matin il passe à Tours ; on demande à quelle distance de Paris il était à huit heures du matin, sachant que la distance de Paris à Tours est de 250 kilomètres.

Comptons les distances positivement de Paris vers Bordeaux, à partir de Paris; prenons pour unités de longueur et de tçmps le kilomètre et l'heure ; prenons enfin pour

origine du temps le minuit où commence le jour considéré. On a ici :

et par suite :

a? = 250-j-(— 60) (8- il) = 250 + 60x3

La distance cherchée est de 430 kilomètres.