Exemple VII. — Soit une droite verticale X'X
et un point À sur cette droite (fig. 20). Supposons \-
d'abord qu'un point matériel pesant soit lancé
en A, à un certain instant, suivant la verticale H
descendante AX avec une vitesse initiale V, ce M '
qui veut dire que, si le point n'était pas pesant, il A
décrirait AX d'un mouvement uniforme avec la M *
vitesse V; on sait qu'après un intervalle de
temps T, à partir du moment de sa chute, M
il occupe une position M sur AX telle que
AM = VT + t GT 2 , G étant un nombre, appelé x
Fijr 20
accélération de la pesanteur, égal, à Paris,
à 9,84, si l'on prend le mètre et la seconde pour unités
de longueur et de temps.
Si donc on compte les segments positivement dans le sens X'X à partir d'un point quelconque 0, et si l'on appelle a
et x les valeurs algébriques des segments A et OM; si, en outre, on compte les temps comme précédemment, et si l'on appelle t et t les nombres algébriques qui correspondent au moment de la chute et au moment où le point est en M, on aura, comme plus haut, la relation générale:
On remarquera que V, G et t — t sont des nombres arithmétiques, car l'époque t est nécessairement postérieure à l'époque / .
Si l'on comptait les segments positivement dans le sens XX', on aurait, en appelant toujours a ei x les segments OA et OM,
Supposons maintenant que le point soit lancé en A, à l'époque t 01 suivant la verticale ascendante AX' avec la vitesse initiale V ; on sait qu'il s'élève jusqu'à une hau-
teur AH égale à ^» et qu'il atteint celte hauteur au bout
d'un temps égal à p ; ensuite il retombe, comme si on
l'abandonnait au point H sans vitesse initiale. D'ailleurs, au bout d'un intervalle de temps T, à partir de l'époque t ,
il occupe, si T" est inférieur à ^ » une position M' telle
que
AM' = VT' — |gT /2 ;
et, d'après ce qui précède, au bout d'un intervalle de temps T" après le moment où il était en H, il occupe une position M" telle que
hm"=4gt"*.
Ceci posé, comptons les segments positivement dans le sens X'X à partir d'un point quelconque ; appelons a
le segment OÂ, et x le segment ÔM 7 ou OM", suivant le cas, qui définit la position du point matériel à l'époque t , nécessairement postérieure à l'époque t .
Si t — 1 est inférieur à p, on a :
a? = OM / = OA+AM , ; d'ailleurs
OA
= a,ÀM'=-(v(/-f.)-|G(*-/.)«)
Donc :
(3) x = a-Y{t-t.)+lQ{t-t.y.
Si t — t est supérieur à ^, on a :
x = OM" = OA + AH + HM " ;
d'ailleurs
OA=a,AH=-^,HM'^=|Gh — /.— gj
Donc
Comme :
'-'•-&) =(«-'•)• -%■('-'.) + gî'
il vient simplement, après réduction,
on obtient donc la même formule (3) que précédemment. Si Ton comptait les segments dans le sens XX', on aurait de la môme façon, en appelant toujours a le segment OA, et x le segment OM' ou OM" :
les nombres V et G sont des nombres arithmétiques comme plus haut.
Convenons maintenant de mesurer l'accélération de la pesanteur par un nombre algébrique g y égal à + G ou à — G suivant que Ton compte les segments positivement dans le sens de la verticale descendante (celui de Faction de la pesanteur), ou en sens contraire; de même, mesurons la vitesse initiale du mobile par un nombre algébrique v, égal à + V ou à — V, suivant que cette vitesse est dirigée dans le sens des segments positifs ou en sens
inverse; alors on voit que les formules (1), (2), (3), (4) deviennent Tunique formule :
Cetle formule embrasse donc tous les cas possibles du mouvement vertical d'un point matériel pesant.
Application. — En un point A situé à 300 mètres au-dessous du sol, on lance suivant la verticale ascendante un mobile animé d'une vitesse initiale de 100 mètres par seconde. On demande à quelle hauteur au-dessus du sol sera ce mobile au bout de 16 secondes.
Gardant les unités déjà indiquées, comptons les segments positivement suivant la verticale ascendante à partir du sol ; alors, dans la formule générale, il faut faire :
• a = — 300,v = 100, g=— 9,81, t — t = \6, et par suite, il vient :
Le mobile sera à 44 m ,32 au-dessus du sol; il sera d'ailleurs en train de redescendre, ainsi qu'il est facile de le vérifier.
61. Exemple Vin. — Voici un dernier exemple, emprunté à la vie pratique. Une personne reçoit ou débourse pour une raison quelconque une somme A; son avoir devient V + A ou V — A, suivant le cas, en appelant V son avoir primitif. Si Ton convient de mesurer la somme A par un nombre algébrique a, égal au nombre arithmétique A affecté du signe -f- ou du signe —, suivant qu'elle correspond à une recette ou à une dépense, on voit que dans tous les cas l'avoir de la personne est V -f- a.
Application. — Deux personnes possèdent respectivement a francs et b francs. Combien la première doit-elle donner à la seconde ou recevoir de la seconde pour que les fortunes des deux personnes deviennent dans un rapport donné m ?
Soit x le nombre algébrique qui mesure la somme reçue ou donnée par la première personne ; on doit avoir dans tous les cas :
d'où
x(l-\-m) = 7nb — a,
mb — a
1 + ra
Suivant que le nombre mb — a sera positif ou négatif, x sera lui-môme positif ou négatif : la seconde personne donnera ou recevra.
On voit que nous n'avons pas eu besoin de distinguer deux cas et de chercher lequel de ces deux cas était possible.
Exercices
