CALCUL ALGÉBRIQUE

§ 1 er . — Introduction des expressions algébriques. Généralités sur le calcul algébrique.

62. — Dans tout ce qui précède, comme en arithmétique, nous avons toujours employé les lettres pour représenter des nombres déterminés. Un des caractères propres de l'algèbre est l'emploi des lettres pour représenter des nombres indéterminés ou variables.

On appelle expression algébrique un ensemble de nombres et de lettres réunis entre eux par des signes d'addition, soustraction, multiplication, division et extraction de racines ; les lettres représentent des nombres quelconques, et les signes indiquent les opérations à effectuer sur les nombres qui figurent explicitement dans l'expression algébrique, ou qui y sont représentés par des lettres.

Voici des exemples d'expressions algébriques :

a* — b\ — 3a f ô'c 8 , aW \fi, a {?T C | t

r ' ab-j-c*

On appelle valeur numérique dune expression algébrique pour un système de valeurs numériques déterminées attribuées aux lettres qui y figurent, le nombre algébrique que Ton obtient en remplaçant les lettres par les nombres correspondants, et faisant alors les opérations indiquées, d'après les règles du calcul des nombres algébriques.

Ainsi pour a = — 4, b = 3, la valeur numérique de a » &3 est __ 64 __ 27 ou __ 91

Observons que l'on ne doit attribuer aux lettres que des

valeurs rendant possibles les opérations, c'est-à-dire qui donnent un sens aux signes employés. Par suite, si l'expression contient des signes radicaux à indices pairs, les lettres ne pourront représenter que des nombres tels que les quantités placées sous ces radicaux soient positives ou nulles; de même, si l'expression contient des indications de divisions, les lettres ne pourront représenter que des nombres tels que les quantités placées en diviseur ne deviennent pas nulles. C'est ainsi que dans la dernière des expressions prises ci-dessus comme exemples, a ne peut représenter qu'un nombre négatif ou nul.

On dit que deux expressions algébriques A et B sont identiques, et l'on représente ce fait par Y identité

lorsqu'elles contiennent les mêmes lettres, et que leurs valeurs numériques sont égales .pour tous les systèmes de valeurs que l'on peut attribuer aux lettres.

Ainsi les expressions (a — b) (a -f- b) et a 2 — b l sont

identiques.

a 2 —b* Il en est encore de même des expressions — ^r- et a -f- b,

en remarquant que, dans la première expression, a et b ne peuvent pas recevoir des valeurs numériques ég ales.

Mais les expressions a -f- b et \Jo} -f- 2ab-\-b 2 ne sont pas identiques ; car leurs valeurs numériques ne sont égales que si a -f- b prend une valeur positive ou nulle; sinon, elles sont égales et de signes contraires.

Une expression algébrique est identiquement nulle lorsqu'elle prend la valeur zéro pour tous les systèmes de valeurs que Ton peut attribuer aux lettres.

63. — Si Ton écrit Tune à la suite de l'autre deux expressions algébriques A et B, en les séparant par le signe +, on forme une nouvelle expression algébrique A -|- B qui est la somme des deux premières, parce que sa valeur numérique est toujours la somme des valeurs numériques de AetB, quel que soit le système de valeurs numériques attribuées aux lettres.

Ainsi la somme des expressions y a*b et a 6 — 6* + ts est la nouvelle expression

v/a'6 + («« - 4» + Çj

De même, À — B, AB, ^ sont de nouvelles expressions

algébriques que Ton appelle différence, produit ou rapport des expressions A et B ; v^A est une expression qui, élevée à la puissance m mc y reproduit A, parce qu'il en est de même des valeurs numériques; si m est pair, cette expression a toujours une valeur numérique positive, et l'expression — '(/A élevée à la m me puissance reproduit aussi A.

11 résulte clairement de ces définitions que l'on peut calculer sur les expressions algébriques absolument comme sur les nombres algébriques, puisque pour chaque systèmeparticulier de valeurs numériques attribuées aux lettres c'est en réalité sur des nombres que porte le calcul.

Toutes les propositions du chapitre II s'étendent donc sans exception au calcul algébrique, c'est-à-dire au calcul des expressions algébriques, ce qui n'est autre chose que l'art de transformer les expressions algébriques en expressions identiques.

Insistons sur un exemple, afin de bien faire comprendre ce qui précède.

Soient A, B, G, D, quatre expressions algébriques; les expressions (A — B) (G — D) et AC — AD — BG + BD sont identiques : en effet, supposons que les lettres reçoivent des valeurs numériques quelconques, assujetties seulement à rendre les opérations indiquées possibles; A, B, G, D prennent alors des valeurs numériques a, b, c, d;\a valeur numérique de (A — B) (G — D) est (a — b) (c — d) ; celle de AG — AD — - BG + BD est ac — ad — bc-\- bd ; mais, a, b t c, d étant des nombres, on a :

(a — b) (c — d) =ac —ad — bc -f- bd;

ainsi, quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres, les expressions (A— B) (G — D) et AG — AD — BC + BD prennent même valeur numérique et par suite sont identiques. On raisonnera de même dans tous les cas possibles, et l'on voit bien par suite que l'on peut appliquer toutes les règles du calcul des nombres au calcul des expressions.

64. — Le calcul algébrique est illimité. Il faut souvent déployer quelque habileté et faire preuve de sagacité pour mettre une expression algébrique donnée sous une forme équivalente, la plus simple ou la plus élégante possible, ou pour reconnaître l'identité de deux expressions algébriques qui se présentent sous des aspects absolument différents.

Ajoutons, d'ailleurs, que l'habitude facilite singulièrement ce travail : aussi est-il indispensable d'étudier avec soin les exemples que nous donnerons, et de traiter un grand nombre d'exercices.

Les règles à appliquer sont, nous lavons déjà dit, celles du calcul des nombres algébriques. Nous allons les reprendre cependant en partie, pour les appliquer à une classe spéciale d'expressions algébriques que nous définirons tout à l'heure, les monômes et les polynômes entiers. Ces expressions, d'une forme particulièrement simple, jouent, en algèbre, un rôle prépondérant : on peut d'ailleurs, le plus souvent , ramener les questions sur les expressions quelconques à des question sur les polynômes entiers en représentant par une seule lettre nouvelle une expression complexe, et raisonnant, ce qui est légitime, sur cette lettre comme sur une lettre ordinaire pouvant recevoir toutes les valeurs numériques. Donnons tout de suite un exemple simple de ce procédé : soit l'expression

fya-\-b — ■ y a — b

si l'on fose^a-\-à=a' t ^a—b = b' } l'expression s'écrit

ANDOYER. — ALGÈBRE. 5

a fi b'*

sous la forme , ,, et est identique à a' -j- V ; ceci veut

dire que pour toutes les valeurs numériques attribuées à a' et b', telles que la différence a' — b' ne soit pas nulle,

fl '2 J'I

— ; — jr- et a' + V prennent môme valeur numérique.

Donc, évid emmen t, l'expression donnée est identique à ]/a-{-b-\-ya — bi c'est-à-dire prend même valeur numérique que cette dernière expression quelles que soient les valeurs numériques attribuées à a et 6, en excluant bien entendu celles qui donnent a -{- b = a — b, ou b =0.

65. — Une expression algébrique est dite rationnelle si elle ne contient pas de signes radicaux portant sur des lettres; sinon elle est irrationnelle.

Une expression algébrique rationnelle ou irrationnelle est dite entière quand elle ne contient pas de signes de division portant sur des diviseurs littéraux; sinon elle est fractionnaire.

On voit que, dans les expressions entières et rationnelles, on peut toujours attribuer aux lettres tous les systèmes possibles de valeurs numériques; il n'en est pas de même en général pour les autres expressions.

On appelle monôme une expression algébrique entière et rationnelle dans laquelle il n'y a aucun signe d'addition ni de soustraction : un monôme est donc un produit de facteurs numériques ou littéraux écrits dans un ordre quelconque. On peut grouper ces facteurs de façon à remplacer les facteurs numériques par leur produit effectué, appelé coefficient du monôme, et à remplacer plusieurs facteurs représentés par la même lettre par une puissance de cette lettre.

Donc tout monôme aura une forme telle que :

5rt 7 £*c*d 3 ou — 5a 8 6 2 c 4 ;

les coefficients de ces deux monômes sont respectivement 5 et — 5 ; le signe — qui figure dans le second n'est pas un signe d'opération.

Nous supposerons toujours un monôme écrit sous, la forme précédente.

On appelle polynôme entier ou simplement polynôme une expression formée de monômes séparés par les signes -fou — .

L'expression

a > — 4a 5 A 4- 6a*à a + Aab* + b"

est un polynôme.

On peut toujours considérer comme positifs les coefficients des monômes qui figurent dans un polynôme, car on a par exemple :

d'après les règles du calcul algébrique, identiques à celle du calcul des nombres algébriques.

On peut toujours aussi considérer un polynôme comme une sommé algébrique de monômes ; ainsi Ton a :

a * — ±a*b + U % b l —*ab* + fr = a> + (—\a*b)+Wb*

Cette façon de considérer les polynômes est souvent employée, sans qu'il soit nécessaire d'écrire le polynôme explicitement sous forme de somme.

On appelle binômes et trinômes les polynômes qui ont respectivement deux et trois termes.

66. — Deux monômes semblables sont deux monômes qui ne diffèrent que par leurs coefficients, tels que — la*b*c et 8a*b*c.

Dans un polynôme, il peut exister plusieurs termes semblables ; il est clair que l'on peut remplacer ces termes par un seul, semblable aux précédents, ayant pour coefficient la somme des coefficients des termes considérés : ceci suppose que l'on considère le polynôme comme une somme de termes.

Exemple :

3AW— oa^-|-16a 8 6 — 8a 4 é*-7a 3 6

Faire celte opération pour tous les groupes de termes semblables d'un polynôme s'appelle effectuer la réduction des termes semblables. On doit toujours écrire un polynôme sous sa forme réduite, de façon qu'il ne contienne plus aucun terme semblable à un autre.

Nous admettrons que deux polynômes identiques, c'està-dire qui prennent même valeur numérique, quels que soient les nombres par lesquels on remplace les lettres, sont aussi identiques de forme, c'est-à-dire composés des mêmes termes (après réduction des termes semblables).

La démonstration de ce théorème est facile, mais sa place n'est pas dans un ouvrage élémentaire.

En particulier, un polynôme qui a pour valeur numérique zéro, quels que soient les nombres par lesquels on remplace les lettres, c'est-à-dire qui est identiquement nul, renferme un seul terme, zéro.

67. — Le degré d'un monôme par rapport à une lettre estl'exposant de cette lettre dans le monôme écrit comme nous l'avons dit au n° 65 ; le degré d'un monôme par rapport à certaines lettres est la somme des exposants de ces lettres dans le monôme.; le degré total, ou simplement degré d'un monôme, est la somme des exposants de toutes les lettres qui y figurent. 11 est bien entendu que, dans l'application de ces définitions, on regarde la lettre a toute seule comme affectée de l'exposant i .

Le degré de — §a z b l cd K par rapport à a est 3; son degré par rapport à a et b est 5 ; son degré total est 10.

Le degré d'un polynôme par rapport à une lettre est le plus grand des degrés des différents termes du polynôme par rapport à celle lettre. On définit de même le degré d'un polynôme par rapport à plusieurs lettres et son degré total ou simplement degré.

11 est bien entendu que le degré d'un terme par rapport à une lettre qui n'y figure pas est zéro.

Le degré du polynôme

5a:» — 7y* -| Sxhf — 27 — z 8

par rapport à x est 7 ; son degré par rapport à y el z est 4 ; son degré total est il.

Un polynôme est homogène par rapport à certaines lettres, quand tous ses termes sont de même degré par rapport à ces lettres ; ce degré commun est le degré d'homogénéité du polynôme par rapport à ces lettres.

On dit simplement que le polynôme est homogène, quand il est homogène par rapport à toutes les lettres qui y figurent.

Le polynôme

a * + 3a*b + 3ab* + b*

est homogène et du troisième degré.

Un polynôme est dit ordonné par rapport aux puissances décroissantes ou croissantes d'une lettre x appelée lettre ordonnatrice, lorsque, après réduction des termes semblables, ces termes se trouvent rangés de telle façon que leurs degrés par rapport à x aillent constamment en diminuant ou en augmentant.

Lorsqu'il s'agit de polynômes ordonnés par rapport à une lettre x, il est convenable de considérer les autres lettres comme représentant des nombres déterminés; chaque terme du polynôme se présentera alors comme le produit d'une puissance de x par un coefficient qui pourra être lui-même un polynôme par rapport aux autres lettres.

Exemple. — Soit le polynôme du troisième degré :

5a? 8 -f-7t/ 8 — 8z s -t-3tf 2 î/ — 3x 2 z + $xy 2 — lifz + 3xz J — 6yz* -f- 21xyz — 5# 2 — 3y % — 9z* + 6xy -f- \\jz

— 3xz-\-x-\-y — z-f-4.

Ordonnons-le par rapport aux puissances décroissantes de x; nous l'écrirons sous la forme :

+ (5y 2 + 3z 2 + 27yz + 61, — 3z + i)x

+ 7y 3 --8z 3 — 7y 2 z— 6yz 2 — 3y , —9z*4-4yz + ?/--z+4.

Les coefficients eux-mêmes peuvent être ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de y, et Ton obtient la nouvelle expression identique :

5ar 8 -f [3y + (— 3z — 5)]x*

Les coefficients des puissances de y sont eux-mêmes des polynômes ordonnés suivant les puissances de z.

Soit un polynôme homogène par rapport à deux lettres ; il est clair, que s'il est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de Tune de ces lettres, il l'est aussi par rapport aux puissances croissantes de l'autre; tel le polynôme :

rt * — \a*b + 6a 2 £ s — Aab z + b k .

Remarque. — Nous venons de voir comment Ton pouvait être amené à considérer pour un instant dans un polynôme certaines lettres comme représentant des nombres déterminés.

Le même fait peut se produire à l'égard des expressions algébriques quelconques : c'est ainsi qu'on dira de

l'expression irrationnelle fractionnaire x *' a ~*~ ^ qu'elle

est entière et rationnelle par rapport aux lettres a? et y,

parce qu'elle devient telle si a et b représentent des

nombres déterminés.

§2. — Addition, soustraction et multiplication

des polynômes.

68. — L'addition et la soustraction des polynômes ont pour but de mettre la somme et la différence de deux polynômes sous la forme d'un polynôme : ceci se fera en appliquant les règles du calcul des nombres algébriques; c'est-à-dire que 1° pour former la somme des polynômes A et B, on écrira B à la suite de A en conservant à chaque terme son signe; 2° pour former la différence des polynômes A et B, on écrira B à la suite de A en changeant le signe de chacun de ses termes.

Ensuite, on fera la réduction des termes semblables dans le résultat obtenu, s'il y a lieu.

Exemple. — Soit :

RE=a 3 — 6a*6 — 5a 4 ô + 46 8 ;

mettre sous forme de polynôme l'expression P -f- Q — IL On aura :

p|Q R = 5 a s- ga^ + Sa 4 * — 4 S — 4a 3 -j-7a l 6 -|- Qa'b — 96 3 — a' -f 6a*b + 5a 4 b — 46 3 = 5a«6 4-16a 4 6 — 14/A

Si, comme dans le cas présent, les polynômes renferment des termes semblables, il est commode de les écrire de façon que ces termes se trouvent les uns audessous des autres; la réduction des termes semblables se fait alors plus facilement. En outre, si les polynômes sont ordonnés, le résultat se trouve lui-même ordonné

Pour faire l'opération précédente, on écrira donc, eii i

ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de a par exemple :

p + Q r = sa'b + 5a 8 — 8a*6 — ù* + 6a 4 6 — 4a 8 + la*b — 9ô 8 4-oa 4 6 — a*

On simplifie encore l'écriture en adoptant la disposition suivante qui se comprend d'elle-même :

+ 5a f 6 — Ué 1 .

Ce que nous avons dit des polynômes s'applique évidemment aux monômes : un monôme est un polynôme à un seul terme.

69. — Gomme toute opération, une opération algébrique doit être vérifiée. Voici une méthode générale de vérification qui s'applique à toutes les transformations algébriques.

Donnons aux lettres des valeurs numériques quelconques, et calculons les valeurs numériques que prennent les expressions sur lesquelles on opère, puis faisons sur les nombres ainsi obtenus les opérations indiquées; on obtient un nouveau nombre qui doit être égal à la valeur numérique que prend le résultat de l'opération pour les mêmes valeurs attribuées aux lettres.

Cette preuve n'est pas absolue, comme toutes les preuves; mais si elle réussit, et surtout si elle réussit pour plusieurs systèmes de valeurs numériques attribuées aux lettres, il y a grande chance que l'opération est exacte.

Exemple. — Pour vérifier l'opération du numéro précédent, faisons :

il vient :

et par suite :

Le résultat calculé 16a 4 ô + 5a 2 ô — 14/y» fournil le même nombre.

70. — La multiplication des polynômes a pour but de mettre le produit de deux polynômes sous la forme d'un polynôme. On arrive à ce résultat comme quand il s'agit de polynômes algébriques, en formant un nouveau polynôme avec tous les produits partiels que l'on peut obtenir en multipliant chaque terme du multiplicande par chaque terme du multiplicateur, chacun de ces produits étant affecté du signe + ou du signe — , suivant qu'il provient de deux termes affectés du même signe ou affectés de signes contraires. On fera ensuite la réduction des termes semblables s'il y a lieu.

On observera en outre, pour former les produits partiels, la règle suivante qui est évidente.

Le produit de deux monômes est un monôme qui a pour coefficient le produit des coefficients des deux monômes, et qui contient toutes les lettres entrant dans les deux monômes, chacune d'elles ayant pour exposant la somme de ses exposants dans les deux facteurs, ou son exposant dans l'un des facteurs si elle n'existe pas dans l'autre.

Exemple :

6a 4 ô 5 cX7a 3 ôd 4 =E42a 7 ô 6 cd 4 , (4a*— 3a 2 ô+6c 3 )Xl2a 3 c 2 =48a 6 c 2 — 36a 5 £c 3 +72aV. (5a* — 6a 2 6 2 + 3£ 4 )) ( ioaH — 18a 8 6 3 + 9a 8 ô* X (3a 8 £ — 4c 2 ) | — \ - 20a*c* + 24« S 6V 2 — 1 2b' cK

71. — Pour faciliter la réduction des termes senv blables, il est convenable de disposer l'opération de fa

façon suivante. On écrit le multiplicateur sous le multiplicande et Ton tire un trait horizontal; on multiplie les termes successifs du multiplicande par le premier terme du multiplicateur, et Ton écrit les produits obtenus sur une ligne horizontale, au-dessous du trait; on multiplie les termes successifs du multiplicande par le second terme du multiplicateur, et Ton écrit les produits obtenus sur une seconde ligne horizontale, en plaçant les termes semblables les uns sous les autres, comme nous avons déjà fait à propos de l'addition et de la soustraction. On continue jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les termes du multiplicateur; on tire un nouveau trait horizontal, sous lequel on écrit le résultat, après réduction des termes semblables.

Soit par exemple à calculer le produit des polynômes

+ y* + * 2 — yz—zx — xy

et ar + y-f-z. Oh a l'opération cicontre.

Le produit est

-(-y 8 -j-3 3 — 3xyz.

Si les polynômes contiennent une seule lettre, ou bien contiennent deux lettres, mais sont homogènes, il est convenable de les ordonner par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes de cette lettre ou bien de l'une de ces lettres, suivant le cas ; les produits du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur se trouveront eux-mêmes ordonnés, et Ton aura les dispositions simples que mettent en évidence les exemples ci-dessous :

-fi -«-

CD