SO ^ G

co ac

îO aO G^l

co •*

et «

•*» co

co co

On remarquera que par rapport à la lettre ordonnatrice, les degrés des polynômes ordonnés que Ton obtient comme produits partiels en multipliant le multiplicande par les termes successifs du multiplicateur vont en diminuant ou en augmentant chaque fois d'une unité, suivant que les polynômes donnés sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes ou croissantes de cette lettre; les termes semblables se placent donc d'eux-mêmes les uns sous les autres, en reculant chaque fois d'un rang le premier terme de chaque produit partiel.

Il faudra toutefois prendre quelques précautions dans

l'application de cette règle purement pratique, si les polynômes à multiplier ne sont pas complets, c'est-à-dire si la différence entre les exposants de la lettre ordonnatrice dans deux termes consécutifs n'est pas toujours égale à l'unité : c'est ce que montre bien l'exemple suivant dans lequel on multiplie l'un par l'autre les polynômes 3a?* + 4a? 4 — 5a? 5 + # 7 et a? 8 + 2a? 4 — 3a? 6 :

#3 i go:* — 3a? G

3a? 5 + 6a? 6 + 4a? 7 — 6* 8 — 10a? 9 — Ha? 10 +17a? u —3a?

Pour vérifier cette dernière opération, remarquons que si l'on fait a?=l, le multiplicateur est nul; il doit en être de même du produit, ce qui a lieu en effet.

72. — Il est évident que le degré du produit de deux monômes est égal à la somme des degrés de ces monômes.

Ceci posé, considérons le produit de deux polynômes A et B, qui dépendent d'une seule lettre ; si a et b sont dans ces polynômes les termes du plus haut degré, il est clair que le produit partiel ab qui figure dans le polynôme produit ne se réduira avec aucun autre, car son degré sera le plus grand possible; de même si a' et b r sont dans A et B les termes de moindre degré, il est clair que le produit partiel a'b' ne se réduira avec aucun autre, car son degré sera le plus petit possible. On peut donc énoncer l'importante proposition suivante :

Si Von multiplie Vun par Vautre deux polynômes ordonnés tous les deux par rapport aux puissances c?*oissantés ou décroissantes d'une même lettre, les termes extrêmes du produit supposé lui-même ordonné par rapport à cette lettre sont les produits des deux premiers termeset des deux derniers termes dans les deux facteurs.

On peut dire encore que le degré du produit de deux:

polynômes qui dépendent d'une seule lettre est égal à la somme des degrés de ces polynômes.

Ces théorèmes sont faciles à vérifier sur l'exemple qui termine le numéro précédent.

Ces mêmes propositions s'étendent sans difficulté aux produits de deux polynômes qui dépendent de plusieurs lettres, x, y, z par exemple. Ordonnons d'abord chacun de ces polynômes par rapport aux puissances décroissantes de a?; puis le coefficient de la plus haute puissance de x par rapport aux puissances décroissantes de y; puis enfin, dans ce coefficient, le coefficient de la plus haute puissance de y par rapport aux puissances décroissantes de z : le produit des premiers termes des deux polynômes ainsi disposés donnera un produit partiel qui ne se réduira avec aucun autre terme, et qui sera au même sens le premier terme du produit des deux polynômes. On raisonnerait de même en ordonnant par rapport aux puissances croissantes des lettres.

On verra de la même façon que le degré du produit de deux polynômes quelconques est égal à la somme des degrés de ces polynômes.

Enfin, nous laisserons au lecteur le soin d'étendre encore ces propositions au cas du produit de plusieurs polynômes.

En particulier, nous énoncerons les conséquences suivantes :

Le produit de plusieurs polynômes est un polynôme qui a au moins deux termes.

Le produit de plusieurs polynômes homogènes est un polynôme homogène dont le degré est égal à la somme des degrés des facteurs.

Pour que le produit de plusieurs polynômes soit nul identiquement, il faut et il suffit que Vun des facteurs soit nul identiquement.

73. — Pour compléter les propositions du n° 39, cherchons à former le carré et le cube de la somme d'un nombre quelconque de termes.

1 ° Soit à former le carré de la somme a + b + c+ . . . + h + *• Pour faire le produit de deux polynômes algébriques, on multiplie de toutes les façons possibles un terme de l'un par un terme de l'autre, et on ajoute les produits partiels ainsi obtenus. Ici nous devons multiplier a-\-b + c-\-...-\-h-\-k par luimême. Si nous preuons le terme a dans chacun des facteurs, nous obtenons le produit partiel a 2 ; si nous prenons le terme a dans le premier facteur et le terme b dans le second, nous obtenons ab; si de môme nous prenons b dans le premier facteur et a dans le second, nous obtenons encore ab. En répétant le môme raisonnement, nous voyons que le carré d'une somme est égal à la somme des carrés des différents termes, plus deux fois la somme des produits que l'on obtient en multipliant chaque terme par un autre.

En d'autres termes :

(a + b + c + ... + h + A-) 2 = a 2 + fc 2 + c 2 + ... + A 1 + A 1

+ 2(ab + ac + ... + ak + bc + ... + lik).

Exemple :

( a — b + c — d)* s= a 2 + l l + c 2 4- d* — 2ab + 2ac — 2 ad

— 2&C + 2M — 2cd.

2° Soit à former le cube de la somme a + ô + c+...-j-/* + fc.

Pour faire le produit de plusieurs polynômes algébriques, on fait la somme des produits partiels obtenus en prenant de toutes les manières possibles un terme dans chaque polynôme.

Ici nous devons multiplier ensemble trois polynômes égaux à a + 6 + c+... + A + A. Si nous prenons le terme a dans chacun des facteurs, nous obtenons le produit partiel a 8 ; si nous prenons a dans deux des facteurs, et b dans celui qui reste, nous obtenons de trois façons différentes le produit partiel a*b; si enfin nous prenons a dans l'un des facteurs, b dans un autre et c dans celui qui reste, nous obtenons de six façons différentes, comme on le voit tout de suite, le produit partiel abc. En répétant le même raisonnement, nous pouvons dire que : le cube d'une somme est égal à la somme des cubes des différents termes, plus trois fois la somme des produits que Von obtient en multipliant le carré de chaque terme par un autre, plus six fois la somme des produits que Von obtient en multipliant ensemble trois termes différents.

En d'autres termes, on a :

(a + & + c + ... +A + ft)*ssa» + 6 3 + c 8 + ... + /i 8 + * 8 + 3(a 2 fc + a 2 c + ... + aH + b*a + b*c + ... + k % h)

+ fi[abc + .. , + ahk + ...).

Exemple :

— 3a 2 fc + 3a 2 c — 3a 2 d + 3a& 2 + 3fc 2 c — 36 2 d + 3ac 2 — 3fcc 2 — 3c 2 d + Zad* — 3M 2 + 3cd*

— 6ate + CaM — Qacd + 6ted.

Oa raisonnerait de môme s'il fallait élever une somme à une puissance d'exposant supérieur à 3.

Enfin, nous signalerons encore les multiplications intéressantes suivantes :

s — . a* — 6* — c* + 2b*c* + 2c 2 a 2 + 2a 2 fc 2 ,

(a + & + c)(a 2 + 6 2 + c 2 — fc c — ca— a&) = a 3 + & 3 +c 8 — 3afc*

La première est facile à vérifier; la seconde a été donnée cidessus comme exemple.

74. — Appliquons ce qui précède à un polynôme A ordonné par rapport aux puissances décroissantes d'une lettre, et soient a et b les deux premiers termes de ce polynôme.

Lo premier terme du carré de A sera a 2 (72) : son second terme sera évidemment 2ab, car tout autre est de degré inférieur à celui-là. De môme, le premier terme du cube de A sera a 8 , et son second terme sera évidemment 3a 2 &.

Plus généralement, on verra de môme que le premier terme de* la puissance m me de A sera a m , et son second terme ma m — 1 b; on l'obtient en prenant dans le produit de m facteurs égaux à A représenté par A w , le terme a dans m — 1 facteurs et b dans celui qui reste, ce qui peut se faire de m façons différentes.

On obtiendrait des résultats tout pareils en ordonnant la polynôme A par rapport aux puissances croissantes d'une lettre»

Exemple :

+ 28a? 2 — Sx+\.

Chaque fois, les deux premiers termes et les deux derniers, peuvent être écrits a priori.

Remarque. — Il résulte des règles exposées dans, ce paragraphe que toute expression algébrique entière et Rationnelle peut se meltre sous la forme d'un polynôme..

§ 3. — Division des polynômes.

75. — La division des polynômes sert à reconnaître si le rapport de deux polynômes peut se mettre lui-même sous la forme d'un polynôme, et à déterminer ce dernier polynôme quand il existe.

D'abord il est clair que le rapport de deux monômes peut se mettre lui-même sous la forme d'un monôme si toutes les lettres qui figurent au diviseur figurent aussi au dividende avec des exposants au moins égaux, et dans ce cas seulement. On dit alors que le monôme dividende est divisible par le monôme diviseur, et le quotient est un monôme qui a pour coefficient le rapport des coefficients des deux monômes donnés, et qui contient les diverses lettres qui figurent au dividende, chacune d'elles affectée d'un exposant égal à la différence des exposants qui l'affectent au dividende et au diviseur ; si cette différence est nulle, la lettre ne figure pas au quotient; si une lettre ne figure pas au diviseur, elle figure au quotient avec le même exposant qu'au dividende.

Exemple :

= nr*d 2

Le degré du quotient est égal à la différence des degrés du dividende et du diviseur.

Remarquons que, dans l'identité précédente, les lettres ne peuvent pas recevoir de valeurs numériques annulant le. diviseur; cependant l'identité nouvelle que Ton obtient en écrivant que le produit du diviseur par le quotient est identique au dividende, a lieu, quelles que soient les valeurs numériques attribuées aux lettres. Ceci résulte de la façon même dont on a trouvé le quotient.

La même observation devra être faite dans tout ce qui suit.

Le rapport d'un polynôme et d'un monôme ne peut se mettre sous la forme d'un polynôme que si chacun des

termes du dividende est divisible par le monôme diviseur. Car si A + B + G + ... est le dividende, A, B, C, ... étant ses différents termes ; si M est le diviseur et si p (- q [ r | . . . est le quotient, P, Q, R, . . . étant ses différents termes, on doit avoir :

eeeMP+MQ + MR + ...

Les termes MP, MQ, MR, . . . sont tous distincts en même temps que P, Q, R, ... et par suite doivent être respectivement identiques aux différents termes A, B, C, ... du dividende; ceux-ci sont donc tous divisibles par M.

S'il en est ainsi, le polynôme A -f- B + C -f* ••• est dit divisible par M, et le quotient s'obtient en divisant par M chacun des termes du polynôme.

Exemple :

JQ 1At ^ = 2a*c* — Zab*c + U\

76. — Soient A et B deux polynômes dépendant d'une seule lettre x; cherchons s'il existe un polynôme Q tel que Ton ait :

!==Q ou A = BQ.

Supposons les deux polynômes ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x> et soient m et p leurs degrés, de sorte que leurs premiers termes sont respectivement ax m et bxPy a et b étant des nombres. Il est clair d'abord que la question n'a de sens que si m est au moins égal à p, et que le polynôme Q sera de degré m — p, s'il existe. D'ailleurs, si Q existe, et si nous le supposons aussi ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x, son premier terme multiplié par bx*\ premier terme de B, devra reproduire ax m , premier terme de A (72) ; on l'obtiendra donc en divisant ax m par bx p , ce qui donne

r x 1 *-** l ou y, si m et p sont égaux 1 •

- Ceci posé, multiplions B par le terme que nous venons de trouyer, et retranchons ce produit de A ; le produit de B

par t x m ~* sera un polynôme de degré m, dont le premier

terme sera précisément ax m ; la différence A — B X 7 x m - *

sera donc un polynôme A' de degré inférieur à m. D'autre part, Q étant supposé exister, A est identique à BQ, et la dif-

férence précédente s'écrit sous la forme BQ — BXTX m ~ p

B ( Q — 7 x m -p 1 : celle différence A' est donc le produit

de B par la partie du quotient qui reste à trouver. On est

ainsi ramené à la question même à traiter, mais avec cette

différence capitale que le degré de A 7 est inférieur à celui

de A.

Si A! est nul identiquement, l'opération est finie : A est

a divisible par B ; le quotient Q est égal krx m ~ I \

Si A' n'est pas nul, mais est de degré inférieur à celui de B, l'opération est encore terminée ; la division ne se fait pas exactement, car A' ne peut pas être le produit de B par un autre polynôme.

Si A' n'est pas nul et est de degré au moins égal à celui

de B, on continue l'opération de la même façon; le second

terme du quotient, c'est-à-dire le premier terme du quo-

A' tient «■ , que l'on suppose exister, est obtenu en divisant

le premier terme de A' par le premier terme de B ; on multiplie ensuite B par le terme ainsi obtenu, et on retranche le produit de A'. On obtient une différence A" sur laquelle on peut répéter ce qui précède.

Finalement, puisqueles degrés des polynômes A, A', A". . . vont toujours en diminuant, ou bien on obtient une différence analogue à A', A",... nulle identiquement ; alors A est divisible par B, ce qu'on exprime encore en disant que la division se fait exactement, et le quotient Q est connu par ses termes successifs ; ou bien on arrive à une diffé-

rence R, analogue à A', A",... non nulle, et de degré inférieur à celui de B ; alors la division ne se fait pas exactement; il n'y a pas de polynôme qui, multiplié par B, reproduise A.

77. — Les exemples suivants feront suffisamment comprendre comment on dispose une division de polynômes :

1° Soit à diviser x* — 5a? 4 -f- 10a? 3 — 10a? 1 -]-5a? — 1 par a 8 — 3a? 2 + 3a? — 1.