THÉORIE DES SEGMENTS

§ l or . — Notions préliminaires.

1. — V algèbre est un des prolongements naturels de l'arithmétique : elle enseigne les moyens de résoudre les questions sur les nombres dont la solution ne se présente pas immédiatement comme application de la théorie des opérations, ou de la théorie des grandeurs proportionnelles.

Aussi ne faut-il pas chorcher à établir une ligne de démarcation absolument précise entre l'arithmétique et l'algèbre ; comme le montrera suffisamment la suite, ces deux sciences empiètent en plus d'un point Tune sur l'autre.

2. — Nous avons étudié en arithmétique les nombres arithmétiques ; la simple idée de collection nous a conduits aux nombres entiers; la considération des longueurs quelconques comptées sur une droite indéfinie, et comparées à une longueur fixe appelée unilé, nous a menés ensuite aux nombres fractionnaires, puis aux

nombres incommensurables, ce qui nous a permis de traiter la question de la mesure des grandeurs en général.

En envisageant encore des longueurs quelconques portées sur une droite indéfinie, et en tenant compte de ce fait que ces longueurs peuvent être parcourues par un mobile en deux sens différents, nous introduirons de nouveaux nombres, les nombres algébriques.

§ 2. — Définition et comparaison des segments.

3. — Soit une droite indéfinie X'X (fig. 1), et sur cette droite deux points A et B; la portion de droite

Fig. 1.

limitée par ces deux points est une longueur, que Ton représente indistinctement par AB ou BA ; les points A et B sont les deux extrémités de cette longueur.

Si nous imaginons que la portion de droite limitée par les points A et B est parcourue par un mobile dans un certain sens, de A vers B par exemple, nous rappellerons alors un segment, et nous le représenterons par la notation AB, qui s'énonce : segment AB. Le point A est Yorigine du segment AB, le point Ben est X extrémité :1a lettre qui marque l'origine est celle qui s'écrit et s'énonce la première. La longueur du segment AB est la longueur AB.

De même le segment BA a pour origine le point B, pour extrémité le point A ; sa longueur est encore AB.

Pour faciliter le langage, nous remarquerons que la droite X'X peut être parcourue par un mobile dans deux sens différents, dans le sens X'X ou bien dans le sens XX' ; nous choisirons alors arbitrairement l'un de ces sens, le sens X'X par exemple, et nous l'appellerons sens positif sur la droite X'X : l'autre, c'est-à-dire le sens XX', sera le sens négatif sur la droite X'X.

Sur la figure, le sens positif est indiqué par une flèche : il sera entendu, une fois pour toutes, que nous ferons de même dans tous les cas analogues.

Ceci posé, nous dirons d'un segment parcouru sur la droite X'X qu'il est positif ou de sens positif, s'il est parcouru dans le sens positif sur cette droite, et négatif

ou de sens négatif dans le cas contraire. Le segment AB est positif, le segment BA est négatif.

Remarque. — Il faut observer avec le plus grand soin que les mots longueur et segment ont maintenant des sens précis et distincts, tandis qu'en géométrie élémentaire on les emploie indifféremment l'un pour l'autre; la môme remarque s'applique à l'expression extrémité d'un segment. Il sera facile cependant, avec un peu d'attention, d'éviter toute ambiguïté.

4. — Un segment nul est un segment dont l'origine coïncide avec l'extrémité. Il se représente par 0.

Deux segments sont égaux s'ils ont même longueur et si en outre ils sont de même sens. C'est ainsi que, les

Fig. 2.

longueurs AB et CD étant égales {fig. 2), les deux segments positifs AB et CD sont égaux; il en est de même des deux segments négatifs BA et DC.

Deux segments sont symétriques s'ils ont même longueur, et si en outre ils ont des sens différents. Les segments ÂB et DG, le premier positif, le second négatif, sont symétriques; il en est de même des segments BA et CD.

Les segments AB et BA sont aussi symétriques.

Remarque. — Les segments AB et CD étant égaux, transportons-les par glissement le long de X'X, de façon à leur donner une même origine quelconque 0; il est clair que leurs extrémités B et D viendront alors occuper

des positions B' et D' qui seront en coïncidence; et réciproquement.

Les segments AB et DG étant symétriques, transportons-les comme précédemment, de façon à leur donner une même origine quelconque ; leurs extrémités B et G viendront alors occuper des positions B' et G' qui seront symétriques Tune de l'autre par rapport au point ; et réciproquement.