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premier terme du quotient est a? s ; d'ailleurs s calculé directement est 2a? 3 : la division est impossible.

Si les coefficients des polynômes donnés sont entiers, et si le coefficient du premier terme du diviseur est égal à 1 en valeur absolue, la marche même de l'opération montre qu'il ne s'introduira nulle part de nombres fractionnaires. Si donc le dernier terme s du quotient calculé directement a un coefficient fractionnaire, la division est certainement impossible.

C'est ainsi que l'on pouvait reconnaître a priori que la division qui nous a servi plus haut de second "exemple est

impossible, puisque, dans ce cas, on a s = j*

78. — Quand la division de A par B est impossible, on le reconnaît à l'existence du reste R, de degré inférieur à celui du diviseur B. D'ailleurs, si l'on appelle Q le polynôme que l'on a écrit au quotient, tant qu'on supposait son existence, il est clair que A' étant la différence entre A et le produit de B par le premier terme de Q, A" étant la différence entre A' et le produit de B par le second terme de Q, et ainsi de suite, R est finalement la différence entre A et le produit de B par Q. On a donc l'identité :

A = BQ + R.

Ainsi, si A n'est pas divisible par B, on peut trouver deux polynômes Q et R, ce dernier de degré inférieur à celui de B, tels que A soit identique au produit BQ augmenté de R. Ces polynômes reçoivent le nom de quotient et de reste de la division de A par B.

Dans une division exacte, le reste est nul.

Nous admettrons que l'on ne peut mettre A sous la forme BQ + R, R étant de degré inférieur à celui de B, que d'une seule façon: par suite, pour que la division de A par B se fasse exactement, il faut et il suffit que R soit nul identiquement.

Remarquons que l'identité A = BQ + R permet encore

d'écrire le rapport ^ sous la forme Q + g '

79. — Soit A un polyuôme qui dépond de la seule lettre x; divisons-le par le binôme x — a, a étant un nombre. Si Ton continue l'opération jusqu'à la fin, on trouve un quotient Q et et un reste R tels que Ton ait l'identité :

d'ailleurs R, étant do degré inférieur à celui du diviseur, qui est du premier degré, est de degré zéro, c'est-à-dire ne contient pas x; c'est un nombre.

Le polynôme A est identique à l'expression Q [x — a) + R, quelle que soit la valeur numérique donnée à x. Donnons à x la valeur a : A prend une certaine valeur numérique A a ; le polynôme Q prend aussi une certaine valeur numérique Q a . et comme x — a prend la valeur zéro, le produit Q (x — a) prend la valeur zéro; enfin R ne chauge pas. On a donc l'égalité numérique :

ce qui permet d'énoncer le théorème suivant :

Le reste de la division d'un polynôme A 'par le binôme x — a est un nombre égal à la valeur numérique que prend A lorsqu'on y remplace x par a.

Exemple. — Divisons x* — 5#* -j- 7a? — 3 par x + 2 ; ici a — — 2, puisque x + 2 ss x — ( — 2), et par suite

ce qu'il est facile de vérifier par une opéralion directe.

Gomme corollaire, nous obtenons l'importante proposition suivante :

Pour que le polynôme A soit divisible par x — o, il faut et il suffit qu'il s'annule lorsqu'on y remplace x par a.

En efiet, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme soit divisible par un autre, est que le reste de la division soit nul. Donc, ici il faut et il suffit que la valeur numérique de A pour x = a soit nulle, puisqu'elle est égale au reste.

Exemples. — Le polynôme x 1 — kx* + 5tf* — 3x — 171 ■est divisible par x — 3, car, pour x = 3, il s'annule. Le quotient est s* + 3j 8 + bx* + 20.r + 57.

x m — a" 1 est divisible par x — a, quel que soit m, x m + a m n'est jamais divisible par x — a : le reste de la division est 2a"\

x' n — a m est divisible par x + a. si m est pair; sinon le reste ■est — 2a"\

x m + a m est divisible par x + a, si m est impair; sinon le reste est 2a m .

Toutes ces propositions, que nous connaissions déjà sous une autre forme (39), résultent immédiatement de ce qui a été dit plus haut; on remarquera seulement que a? + a est considéré comme égal à x — ( — a), dans l'application du théorème.

Nous laisserons au lecteur le soin de trouver une loi simple pour calculer le quotient de la division d'un polynôme par x — a, sans faire effectivement la division.

80. — Si un polynôme A, qui ne dépend que de x, est divisible séparément par les binâmes x — a, x — b, x — c, a, b, c étant des nombres di/férents, il est divisible aussi par le produit (x — a) (x — b) (x — c) .

En effet, on a d'abord par hypothèse, Q étant un certain polvnôme :

Dans celte identité, donnons à a? la valeur b; le premier membre s'annule, puisque A est divisible par a: — b; le second devient [b — a) Qb en appelant Qb la valeur de Q pour x = b; comme le produit (b — a) Qb doit être nul et que b — a n'est pas nul par hypothèse, Qb est nul, c'est-à-dire que Q est divisible par x — b. Par suite on peut écrire :

QsaJ* — 6)Q\

Q' étant un nouveau polynôme.

On démontrerait de môme que Q est divisible par x — c; alors en faisant dans l'identité précédente x = c, on obtient par un raisonnement pareil au précédent Q' c = 0. Donc Q'est divisible par x — c, et l'on a :

Q" étant un nouveau polynôme.

On en déduit d'abord :

Q s (a? — 6) (« — c) Q", puis,

ce qui montre bien que A est divisible par le produit (x — a) {x — b) (x — c).

Ce théorème s'étend à un nombre quelconque de binômes tels que x — a.

Exemple. — x m — a m est divisible par [x — a) {x + a) ou x 1 — a* quand m est pair, car il est séparément divisible par x — a et x -f- a.

81. — Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que les polynômes donnés A et B, l'un comme dividende, l'autre comme diviseur, dépendaient d'une seule lettre x. Supposons maintenant qu'ils dépendent de deux lettres x et y. Alors pour chercher s'il existe un polynôme Q qui, multiplié par B, reproduise A, on ordonnera tous ces polynômes par rapport à Tune des lettres, x par exemple, et supposant que y ait pour un instant une valeur déterminée, on raisonnera comme au n° 76.

On sera ainsi amené à diviser les premiers termes de A, A', A" ... par le premier terme de B : mais tous ces termes sont en général des polynômes en y; on aura donc à faire des divisions partielles de polynômes à une seule lettre. Si l'une de ces divisions ne peut se faire, la division de A par B est elle-même impossible., et l'on n'a rien de plus à dire. Si toutes ces divisions partielles se font exactement, on est amené à un reste R dont le degré en x est inférieur au degré de B : la division de A par B se fait exactement si ce reste R est nul ; sinon on a l'identité A = BQ + R.

Si les polynômes donnés dépendent de plus de deux lettres, on procédera de la même façon en ordonnant par rapport aux lettres successives.

Exemple. — Soit à diviser le polynôme :

xh/z*-)-3x l yz*—x 2 y 2 z*—3z*—*xSy*-\-x*yz* + x'>y ! > +# 4 î/z s -|-# 3 î/ 4 4-4:# 8 î/ 2 2 2 — x*z k — x*y 3 z* — x*z* — xy*z 2

par a? 3 j/ 2 2 2 -f- 3z 6 — 4r 8 ?/ 2 -J-a? 3 * 2 -|- a? 2 y 3 +# 2 2 3 -f- xy* .

En ordonnant par rapport à x, puis y, puis z, on a l'opération suivante :

co co

^>co »4