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ANDOYBR. — ALGEBRE.

82. — Si un polynôme A, dépendant de plusieurs lettres x, y, z, devient nvl identiquement lorsqu'on y remplace la lettre y par la lettre x, il est divisible par x — y ; et réciproquement.

On fera la démonstration comme au n° 79 ; il suffit de remarquer qu'en faisant la division de A par x — y, on ne rencontre jamais de division partielle impossible, et que par suite on peut écrire l'identité

Às^ — yJQ + R,

R étant un nouveau polynôme indépendant de x.

On démontrera encore, comme au n° 80, que si le polynôme A est divisible séparément par des facteurs différents tels que x — y, x — z,y — z,.., il est divisible aussi par le produit de ces facteurs.

Exemple. — Soit le polynôme y*z — yz* + z*x — zx* + x*y ~ xy* ; il devient identiquement nul si Ton fait x=y, ou bien x =^s, ou bien y = z ; il est donc divisible par le produit (y — z) (z — x) (x — y). Il est facile de trouver le quotient: le polynôme donné et le produit (y — z) (z — x) (x — y) sont homogènes et du troisième degré; le quotient ne peut donc être qu'un nombre : ce nombre s'obtiendra en divisant le premier terme du polynôme donné supposé ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x, puis de y, savoir x*y, par le premier terme du produit (y — z) (z — x) (x — y) supposé ordonné de la même façon, c'est-à-dire par — x*y. Le quotient est — 1, et par suite on a l'identité

y*z — yz* -\-z*x — zx* + x*y — xy*=z — {y — z)(z — x)[x — y).

§ 4. — Transformation des fractions algébriques dont les deux termes sont des polynômes.

83. — On peut simplifier une fraction algébrique dont les deux termes sont des polynômes en divisant ces deux termes par un même polynôme qui les divise tous les deux.

Une fraction dont les deux termes sont des monômes se simplifie sans difficulté : les facteurs communs aux deux termes sont en évidence.

Exemple :

— 36a 3 6W 2arf 8 18a*6 5 c*rf s = bc % '

Une fraction dont l'un des termes est un polynôme et

l'autre un monôme se simplifie de la même façon ; si le monôme est en dénominateur, on peut aussi mettre la fraction sous la forme d'une somme de monômes et de rapports de monômes.

Exemple :

6a*ô 8 — 4« 2 ô 2 + 7a 8 6 __ 6a'ô* — Ab -f la a 3 ô 2 ab

= 6a 2 ô — -+•?• Si la fraction donnée est de la forme 5-» A et B étant

des polynômes, on la simplifiera souvent en cherchant des facteurs communs aux deux termes faciles à mettre en évidence : l'habitude facilitera l'application de celte méthode.

Exemple. — Soit à simplifier l'expression

En réduisant ces fractions au même dénominateur, le plus simple possible, il vient :

Le numérateur s'annule identiquement pour b = c, car le premier terme s'annule et les deux derniers deviennent identiques avec des signes contraires. Donc, le numérateur de S est divisible par b — c; comme les lettres a, ô, c peuvent se remplacer les unes les autres sans que l'expression change, il est clair que, par raison de symétrie, le numérateur de S est aussi divisible parc — a et a — 6, et par suite par le produit (b — c) [c — a) (a — b). Comme

plus haut, on voit que le quotient est égal à d. On a donc :.

(a — d)(6 — d)(c— tf/

84. — Supposons que l'application de la méthode précédente n'ait rien donné; alors on pourra appliquer la méthode générale suivante qui permettra toujours de réduire la fraction donnée le plus possible.

Imaginons que les deux termes A et B de la fraction soient des polynômes ne dépendant que d'une seule lettre a?. 11 s'agit de chercher s'il existe un polynôme D qui divise à la fois A et B, et s'il existe plusieurs tels polynômes, de trouver celui qui a le plus haut degré. A cet effet, supposons que A soit de degré au moins égal à celui de B, et faisons la division de A par B ; on obtient une identité de la forme

A==BQ + R,

R étant de degré inférieur à celui de B. Cette identité montre que les polynômes qui divisent à la fois A et B sont les mômes que ceux qui divisent à la fois B et R.

On est par suite amené à faire une théorie en tout semblable à celle du plus grand commun diviseur en arithmétique. On divise B par R, puis R par le reste de cette nouvelle division, et ainsi de suite. On arrive finalement à une division qui se fait exactement, ou bien à une division qui donne pour reste un nombre non nul. Dans ce dernier cas, il n'y a aucun polynôme divisant à la fois A et B; dans le premier, si D est le diviseur de la division qui se fait exactement, les polynômes qui divisent à la fois A et B sont ceux qui divisent D; par suite, en divisant A et B par le polynôme D, appelé aussi plus grand commun

diviseur de A et B, on obtient une fraction identique a — et

qui n'est plus susceptible d'être réduite.

Nous ne développerons pas davantage cette théorie du plus grand commun diviseur qui a, comme en arithmétique, de nombreuses conséquences; nous laisserons aussi au lecteur le soin de l'étendre au cas où les polynômes A et B dépendent do plusieurs lettres.

Exemples. — 1° Simplifier la fraction

a?» + 7a? 8 + 3a?» +îx — 4 a: 8 — a? 4 + 4a? 8 + 2a? 1 + 4a? — 1 *

La simplification, si elle est possible, est loin d'être évidente. Eu divisant le dénominateur par le numérateur, on trouve pour reste 57a? 8 + 24a? s + ?4a? — 33; divisant le numérateur par co

G9 reste, on trouve un nouveau reste égal à — —— [x* + x + 1) ;