OU

divisant le premier reste par le second, ou plus simplement

par x % + x + 1, puisque les facteurs numériques ne jouent

aucun rôle, la division se fait exactement ; le polynôme a?* +ar+ 1

divise donc les deux termes de la fraction donnée qui s'écrit

x* -4- fix — 4

sous la forme plus simple -r , et qui ne peut plus

être simplifiée.

2° Simplifier l'expression

X' + Y' + Z'' où l'on a :

X = (y-*)(l+y«)(l+*«), X^x(y-z)([+y*)(\+z*) t YsM*— *)(1+*«)(1+*»), Y'eBy(s-*)(l+* 1 )(t+* , )i Z = (s-y)(l+*«)(l+y«), Z-aExlar-yJll+^Jll+y»).

En considérant les lettres y et z comme des nombres, on trouve d'abord comme plus grand commun diviseur des deux termes a? 1 — x (y + z) + yz> et la fraction devient :

s(y a — z*) + y*z — yz* — y + z ^ x (y*z — yz % — y + z) — y % + z* '

Les deux coefficients de x et les deux termes indépendants de x ont pour plus grand commun diviseur y — z, et par suite la fraction devient finalement :

*(y + *) + y*—i n „ Kl . n yz + zx-\-xy—\

— — , ou Dien •

x(yz — 1) — y — z xyz — x — y — z

On serait arrivé plus facilement à ce résultat en remarquant que les deux termes de la fraction donnée s'annulent dès que deux des lettres x, y, z sont supposées identiques, et raisonnant comme au numéro précédent.

§ 5. — Racines des polynômes.

85. — La racine m me d'un monôme se simplifie sans difficulté en appliquant les règles du calcul des radicaux. Exemple :

^25a*6 6 c s =ab*c % ^2oac a ;

v/6a»* 4 c § =±ab % c* \/§âc,

suivant que a est positif ou négatif.

On simplifie de même la racine m me d'un polynôme A si Ton réussit à mettre ce polynôme sous forme d'un produit de fadeurs.

Exemple :

s/x* + 3ax 8 + 3a 2 x* -j-a»ar = ± {x -fa) \/x(?-\-a) r

suivant que (x + a) est positif ou négatif, parce que le polynôme sous le radical est identique à x (x-\-a)*.

86. — Etant donné un polynôme A, on peut chercher s'il existe un polynôme B tel que Ton ait :

B est alors une racine m me de A.

Supposons que A dépende d'une seule lettre x, et ordonnons-le par rapport aux puissances décroissantes de x ; soit a son premier terme; de même en supposant l'existence de B, ordonnons-le de la même façon, et soit b son premier terme : d'après ce qui a été dit au n° 74, b m doit reproduire a; donc, en premier lieu, la question n'a de sens que s'il existe un monôme dont la m me puissance soit a, c'est-à-dire si l'exposant de x dans a est multiple de m, et si, en outre, le coefficient de a est positif, quand m est pair.

Ces conditions étant supposées vérifiées, soita # wip l'expression de a, a étant un nombre; alors b est nécessairement y/ô^ xv si m est impair, et ± y/a &** si m est pair.

b étant déterminé, formons la différence A — b m ou A' ; ce sera un polynôme de degré inférieur à celui de A.

Si A' est nul identiquement, l'opération est terminée, on a :

Si A' n'est pas nul, appelons b' le second terme de B, que l'on suppose exister ; d'après le n° 74, le premier terme de A' est égal à m6 w 1 6 / . Donc, si A' est de degré inférieur à celui de b m — *, l'opération est encore terminée : le polynôme B n'existe pas. Si A' est de degré au moins égal à celui de b m - l , on obtient b' en divisant le premier terme de A' par mb m — i .

b' étant déterminé, formons la différence A — (b + b') m ou A" : ce sera un polynôme de degré inférieur à celui de A'.

Si A" est nul identiquement, l'opération est finie ; on a :

Si A" n'est pas nul, appelons b" le troisième terme de B ; ii

est aisé de voir comme n° 74 que le terme de degré le plus élevé dans A", c'est-à-dira dans la différence

est mb m '~ l b". Donc, si A" est de degré inférieur à celui de b m ~ f , l'opération est encore terminée ; B n'existe pas. Si A" est de degré au moins égal à celui de b m ~~ *, on obtient b" en divisant le premier terme de A" par mô m — *. b" étant déterminé, on formera la différence A — (b + b' + b") m ou A"'; et ainsi de suite.

Finalement, puisque les degrés des polynômes A, A', A",... vont toujours en diminuant, ou bien on obtient une différence analogue à A', A", ... nulle identiquement; et alors onaÀ = B m f en appelant B le polynôme b -f- b' + b" + •••» dont les termes successifs ont été déterminés; ou bien on arrive à une différence R analogue à A', A", ..., non uulle, et de degré inférieur à celui de b m — *; alors il n'y a pas de polynôme B tel que Ton ait A = B m .

Dans ce dernier cas, en appelant toujours B le polynôme b + b' + b" + ..., on a Tidentité

R étant de degré inférieur à (m — 1) fois celui de B, et R est dit le reste de l'opération, qui est une extraction de racine m me .

Nous admettrons que le polynôme A ne peut se mettre sous la forme précédente que d'une seule façon : donc pour que A soit une puissance m me exacte, il faut et il suffit que le reste R soit nul identiquement.

On remarquera que, si m est pair, b a deux valeurs égales et de signes contraires, et par suite B aussi; mais B m n'en a qu'une seule.

Observons que l'identité précédente permet d'écrire

\f A s B + v/B"» + R — B, ce qui, à cause de la formule

a m —b m = (a—b)(a m - l +a m -*b -f ... +&»-*). devient :

Nous n'insisterons pas davantage sur cette théorie qui donne lieu à des remarques analogues à celles que l'on fait à propos de la division, et que l'on peut étendre de la môme façon au cas des polynômes à plusieurs lettres.

Exemples. — 1° Racine carrée deAs^+joi + g.

Le premier terme b de B est x (ou — x) ; la différence A — 6* est px + q; en divisant px par 2&, c'est-à-dire 2a? (ou — 2#),on

trouve b'éga à| (ou — | J. La différence A — (b + V)* est

tf — V : c'est R. Oq a l'identité

Z' + ptf + SEEE^ + fy+S-Ç

2° Racine cubique de

A == a; 9 + 3s 8 + 3z 7 + 3ff 2 + 3a? + 1 .

On a d'abord b ss a; 8 , A' s 3a; 8 + 3a- 7 + 3a? s + 3a? + 1 ; puis Vzezx 1 , A'== — a 6 +3a;*+3a; +i;

enfin &"=i,R=2a; 8 +x*> - i a? 3 + ?a; 8 + 3* + ±|;

d'où l'identité

87. — Il e3t clair que toute expression algébrique peut se mettre sous la forme du quotient de deux expressions entières, rationnelles ou irrationnelles.

Nous allons maintenant démontrer l'importante proposition suivante :

Soit P une expression algébrique entière irrationnelle; on peut toujours trouver une expression Q de menu nature, telle que le produit PQ soit rationnel, et par suite puisse se mettre sous la forme d'un polynôme entier.

Remarquons d'abord qu'en désignant certains radicaux simples par de nouvelles lettres, l'expression P devient rationnelle ;-c'est ainsi que si l'on a :

en faisant fâ^x, V & — ^d^-y/b — x* s y, l'expression prend la forme d'un polynôme

a + îy + $y % +x.

Si donc on multiplie l'expression P par une expression Q de;

même nature, on obtient un produit PQ, encore de même uature, et qui par suite dépend des mêmes radicaux que P : aucun radical nouveau n'a pu s'introduire, mais quelques-uns ont pu disparaître. Il est bien entendu toutefois que le produit de deux radicaux, par exemple, n'est pas considéré comme un radical nouveau.

Ceci posé, il est clair que, pour démontrer le théorème, il suffit de faire voir que si Ton considère P comme dépendant d'un seul radical simple, on peut multiplier P par une expression Q telle que le produit PQ ne contienne plus ce radical : car l'application répétée du même procédé permettra alors de faire disparaître successivement tous les radicaux qui figurent dans P.

Appelons y/x le radical simple dont dépend P; alors l'expression P peut être mise sous la forme

A , A lf ... A n -i étant des expressions de même nature queP,

mais indépendantes du radical yX : en effet, d'après ce qui

a été dit, P doit être un polynôme par rapport à y/x, et il est inutile de supposer que ce polynôme contient des puissances

de y/x d'exposant supérieur an — 1, puisque l'on a :

((/x) n s x ( (fx)»+i s xi/x,...

Supposons d'abord n = 2 ; alors P est de la forme

PseeAo + AjV/X;

prenons Q es A — A j y X ;

il vient PQ === A 2 — A^X,

et PQ ne dépend plus dey/X.

Supposons maintenant n = 3 ; alors P est de la forme

PeAo + A^ + Aj^x) 2 ;

en profitant de l'identité :

a 8 + 6 8 +c 8 — Zabc={a+b + c) {a* + b* + c* — bc— ca—ab),

nous prendrons :

il vient alors :

PQ == A 3 + A 4 « X + A 2 8 X» — SAoA^X,

et PQ ne dépend plus de y^X.

Quand n est supérieur à 3, ou peut trouver de même des expressions Q répondant à la question ; nous ne les développerons pas ici, à cause de leur complication et de leur peu d'emploi. Cependant, si Ton a simplement :

P^Ao + Ajv/x, on voit aisément qu'il suffira de prendre :

QsAo"- 1 - Ao n - î A 1 v / X+A n - 8 A 1 8 (v/x) s

-A »-*A 1 »(v/x)» + ..., pour avoir :

PQ==A n — (— l^A^X.

Il suffit, pour s'en convaincre, de faire A = a, — A, fx= b, et de se rappeler l'identité

88. — Une conséquence du théorème précédent est que toute expression algébrique peut se mettre sous la forme d'une fraction à termes entiers, l'un de ces termes, le dénominateur par exemple, pouvant toujours être choisi rationnel ; en effet,

si — est une fraction à termes entiers, et si B' est une expression B

telle que le produit BB' soit rationnel, on peut remplacer la

AB' fraction donnée par la fraction -=^, dont le dénominateur est

BB

rationnel et entier.

C'est en général sous une telle forme que l'on écrit les fractions algébriques.

Exemples. — 1° Transformer la fraction

a + s/x + s/y + sTz

de façon que son dénominateur devienne rationnel.

En multipliant haut et bas par a + \Jy + \J z — yx, on fait

disparaître au dénominateur le radical yx, et l'on obtient un nouveau dénominateur égal à

ou encore à :

a 2 — x+y + z + 2a^z + 2 {a+\fz) s/ y;

NOMBRES ALGÉBRIQUES. CALCUL ALGÉBRIQUE. 125 en multipliant haut et bas par

o* — x + y + z + 2a fi — 2 (a + fi) fi,

on fait disparaître au dénominateur le radical y y, et Ton obtient

un nouveau dénominateur qui se met sous la forme a' + b' yz.

Il suffit alors de multiplier haut et bas par a' — b' fi, pour

faire disparaître au dénominateur le dernier radical fi-, le dénominateur définitif est à 1 — b'*z.

2° Transformer la fraction

a + fi + \J y

de façon que son dénominateur devienne rationnel.

D'abord on peut multiplier haut et bas par a + y y — fi, ce qui donne comme nouveau dénominateur :

a* —# + 2a \/y + (\fy) % ; il suffit alors de multiplier par la quantité (ai—a.)»— 2ay+(i/— 2a(a f — x))$y +(*** — (a«— *))(^y)«. pour obtenir le dénominateur rationnel

On aurait pu aussi multiplier d'abord par

( a + fi x )* ( a + fi) $ y + (fi)*, et Ton aurait obtenu le dénominateur

{a + fi)* + y ou (a* + Zax + y) + {2a*+x)fic; en multipliant encore par

(a 8 + 3ax + y) — (3a s -+- x) fi, on aurait obtenu le dénominateur rationnel

(a 8 + Zax + y)* — (3a 2 + x)*x.

qui ne diffère pas du précédent.

Remarque. — La môme méthode de transformation s'applique évidemment aux fractions numériques; il suffit de rai-

sonner sur les nombres comme sur des lettres. C'est ainsi que- Ton a :

1 i+\fï + \fï — y/ô

(1 +\/i + v/â — v/B)[(2+2 y/2)y/ïï — (i+2y/2) |(20y/2— 27)

Exercices