Un nombre variable x est dit infiniment grand ou

simplement infini, lorsque la nature de sa variation lui permet d'être aussi grand qu'on le veut en valeur absolue. On écrit alors

a? = oo.

Si le nombre x devient infini en restant toujours positif, on écrit x = +00 ; s'il devient infini en restant toujours négatif,, on écrit x = — oo .

Un nombre fixe, si grand qu'il soit, n'est pas infiniment grand.

L'inverse d'un nombre infiniment petit est infini; c'est-à-dire

que x tendant vers zéro, - peut être rendu plus grand en valeur

absolue qu'un nombre positif donné à l'avance A, aussi grand

qu'on le veut. En effet, il suffit de prendre x inférieur à - en

valeur absolue.

La racine carrée arithmétique de l'inverse d'un nombre infiniment petit, positif nécessairement, est de même égale à + oo , car pour avoir

il suffit que l'on ait

91. — Considérons une expression algébrique A dépendant de lettres x, y, £,... et supposons que pour certaines valeurs x , 2/ot 2o»»*« données à ces lettres, l'expression A n'ait pas de valeur numérique, parce que les opérations indiquées deviennent dénuées de sens, par suite de la présence de divisions à diviseurs nuls.

Imaginons qu'au lieu de donner aux lettres les valeurs 2*0* 2/o» *<>.••• on leur donne successivement des valeurs variables ayant respectivement pour limites les nombres x , y , z .,.\ alors A prendra en général une valeur numérique variable a (si, même dans ces conditions, A n'avait pas de valeur numérique, on ne pourrait rien dire de plus). Il peut arriver :

1° que le nombre variable a tende vers une limite a ; alors on dit que a est la valeur numérique de A pour

2° que le nombre variable a soit infiniment grand, c'est-à-dire que sa valeur absolue puisse devenir plus grande que tout nombre positif donné ; alors on dit que l'expression A est infinie

poura?=a?o,2/= J/o. z = z 0l ...

3° que le nombre variable a ne tende vers aucune limite, et qu'il ne devienne pas non plus infiniment grand. Alors, suivant

la façon dont on fera tendre a?, y, z..., vers leurs limites respectives x , y , z ,... a tendra vers une certaine limite ou vers une autre : on dit que A est indéterminée pour

x — Xq , y — j/o » " — Zo

L'indétermination est totale si a peut tendre vers une limite quelconque donnée à l'avance; sinon elle est partielle.

Avant de donner des exemples, observons que si deux expressions algébriques sont identiques suivant la définition donnée au n° 62, elles prennent nécessairement, en vertu môme des conventions que nous venons défaire, môme valeur numérique, finie ou infinie, pour tout système de valeurs attribuées aux lettres ; et de plus, si Tune d'elles devient indéterminée, l'autre le devient dans les mêmes conditions.

De la môme façon, les principes admis au n° 89 demeurent toujours vrais, à la seule condition de modifier le langage convenablement.

92. — Pour trouver la valeur numérique d'une expression A pour un système de valeurs exceptionnelles x = a? . y — y , z = *<,.»•• on commencera par mettre A sous la forme du rap-

p port — de deux expressions entières P et Q, ce qui est toujours

possible et légitime d'après ce que nous venons de dire. Il pourra arriver ainsi que la difficulté disparaisse. Exemple. — Soit à chercher la valeur de

pour x = 1. C'est un cas exceptionnel.

Mais on a en multipliant haut et bas para; 8 — 4 ou (a? — 2) (a? -H 2)

et par suite pour x = 2, A a la valeur numérique — •

En effet, la valeur numérique de A est toujours celle de la

fraction - — ; — — — , t , . . , n — - pour toute valeur de x dif- (5a? — 4) (a?* — 4J + 3

férente de 2. Si a? tend vers 2, la valeur de cette fraction tend

1 fi If

vers sa valeur — pour a?= 2 ; donc, par définition, — est la valeur de A pour a? = 2.

Si la difficulté n'a pas disparu, c'est que pour #=#<,. y = 2/o.

z = z 0t ... Q s'annule. Alors deux cas peuvent se présenter :

1° Pour x = .T . y = 2/o t.. • P prend une valeur P non nulle.

Q Dans ce cas, 1 inverse 5 de A prend la valeur pour x = x ,

y = t/ ,.... et par suile a une valeur infiniment petite lorsque x, y, z % ... tendent respectivement vers x , y * *<>,.••; donc Aa une valeur infiniment grande dans les mômes conditions : A est

infinie pour x = x , y = y , z = z ,

Ainsi l'expression

a — mb

que nous avons rencontrée au n° 51 pour définir l'abscisse du

point qui partage dans le rapport m le segment dont l'origine

et l'extrémité ont pour abscisses a et b, est infinie pour m = 1 ,

a et b ayant nécessairement des valeurs distinctes.

2° Pour ;v = x , y=: 2/0,... P s'annule aussi.

p Dans ce cas, on cherchera à remplacer - par une expression

identique de môme forme pour laquelle le môme fait ne se reproduise pas ; ou bien on se livrera à une recherche directe. Exemples. — 1° Soit

Pour x = 0, y = 0, A a la valeur 0, parce que l'on a :

2° Soit

Pour x = 0, y = , A est absolument indéterminée, car la valeur numérique de A sera égale à a si y tend vers zéro en même temps que x, mais de façon à être égal au produit a x.

3° Soit

Pour x = 0, y = l'expression A est partiellement indéterminée; elle peut prendre toute valeur numérique au moins égale à 1.

4° Considérons le cas particulièrement important où P et Q sont des polynômes dépendant d'une seule lettre x.

Alors, s'ils s'annulent pour x = x 0t c'est qu'ils sont divisibles par x — x n et si P' et Q' sont les quotients, on a :

on est ainsi ramené à l'étude plus simple et analogue de --, •

Ainsi soit

Q~~ s 8 — 3ff* + 3a?— t'

Pour x = 4, les deux termes de la fraction s'annulent; divisant par x — 1, on a la fraction identique

P' __ x* 4- x — 2 Q'—a? 1 — fcr+T

dont les deux termes s'annulent encore pour x= l. Divisant par x — 1, on a la nouvelle fraction identique

ici Q" seul s'annule pour x = 1. Donc la valeur de - poura?=:l

est infinie.

Quand x tend vers 1 par valeurs plus petites, P" est positif p et Q" négatif : — tend vers — oo ; si x tend vers 1 par valeurs

plus grandes, P" et Q" sont tous deux positifs : - tend vers + » .

93. — Puisque nous avons étendu le domaine des nombres algébriques par l'introduction des nombres infinis, il faut encore définir ce qu'on appellera valeur numérique d'une expression algébrique A lorsque certaines des lettres qui y figurent reçoivent des valeurs infinies, les autres recevant des valeurs linies.

Si par exemple on veut définir la valeur numérique de A pour x = oo , y = oo , z = s©»- . on donnera aux lettres des valeurs x, y, z,... augmentant les deux premières au delà de toute limite en valeur absolue, la troisième tendant vers z 0t ... A prend alors en général une valeur numérique variable a, sur laquelle on peut répéter ce que nous avons dit au n° 91.

1° Si a a une limite a , a est la valeur de A pour x = oo ,y=oo ,

Z ^^ Zq» m m

2° Si a est infiniment grand, A est infinie pour x = oo , y = oo , 3° Si a ne tend vers aucune limite, A est indéterminée pour

tf = oo,2/=:oo, z =z z ...; l'indétermination est totale ou partielle.

Les remarques que nous avons faites à la fin du n° 91 s'étendent d'elles-mêmes aux nouveaux cas que nous venons d'envisager.

Pratiquement, pour chercher la valeur de A pour a? =00 ,y=oo ,

z = z »... on remplacera x et y par —, et -7, et on cherchera la

valeur de la nouvelle expression pour x = 0, y' = 0, z =z z Q ...

Il est clair que cela revient au même.

Exemples. — 1° L'expression

est totalement indéterminée par x = 00 , y = 00 .

Pour x = » , y = a (a étant fini), elle est nulle.

Pour x = a (a étant fini), y = 00 , elle est infinie.

2° Considérons le cas particulièrement important où A est le quotient de deux polynômes P et Q dépendant d'une seule lettre x :

P ax n + bx n - l + cx tl - » + ...

~~ Q *~ a'xv + b'xP-* + ex*-* + ...'

a et a étant des nombres non nuls, b, c, b\ c, . . des nombres finis quelconques.

Remplaçons a? par -:•

1° Si n = p, on a :

a + bx + ca/* + ...

a' + 6V+cV* + ...

et par suite la valeur de A pour x=z<x> est —,

2° Si n < p, on a :

et par suite la valeur de A pour x = 00 est 0. 3° Si ;i > p, on a :

. a + bx -\- cx % + ...

A=== rf»-P (a' + &V + cV* + ...)'

et par suite la valeur de A pour x = 00 est infinie.

Ainsi 1 expression -— - — du n° 51 est égale a — - ou b pour

Remarque. — Grâce aux définitions données dans ce chapitre, on voit qu'il n'y a plus pour nous qu'une seule opération impossible, savoir l'extraction des racines d'indice pair pour les nombres négatifs. Il est bien entendu, une fois pour toutes, que nous ne donnerons jamais aux lettres qui figurent dans une expression algébrique quelconque de valeurs numériques conduisant à de telles opérations.

Remarque. — Il est essentiel d'observer qu'un nombre déterminé ou fixe est nécessairement fini ; on ne peut être amené aux nombres infinis que par la considération de nombres variables.

Exercices

x^ — dx 1 4