DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE
§ 1 er . — Définitions.
94. — Si deux nombres a et b sont égaux, on exprime ce fait par Y égalité
Si deux expressions algébriques A et B sont identiques, c'est-à-dire prennent même valeur numérique quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres, on exprime ce fait par Yidentité
Si deux expressions algébriques P et Q dépendant d'un certain nombre de lettres x, y, z,... ne sont pas identiques, elles peuvent prendre même valeur numérique lorsqu'on donne aux lettres certaines valeurs particulières x , y > V.-; l'écriture
est une équation numérique.
De même, si deux expressions algébriques P et Q dépendant de lettres a, b, c,... x, y, z,... ne sont pas identiques, elles peuvent le devenir quand on y remplace les
lettres x, y, z,... par certains nombres ou certaines expressions algébriques nouvelles renfermant les autres lettres a, b, c...; récriture
est alors une équation littérale.
Dans une équation numérique ou littérale P=Q, on dit que les lettres x, y, z,... que Ton remplace par certains nombres, ou certaines expressions algébriques nouvelles renfermant les autres lettres, pour obtenir une égalité ou une identité, sont les inconnues; on les représente d'habitude, comme nous l'avons fait, par les dernières lettres de l'alphabet; les autres lettres, s'il y en a, sont les paramètres.
Un système x , y , z ,... de valeurs numériques ou littérales déterminées, et par suite essentiellement finies, attribuées aux inconnues x, y, z,... qui transforme une équation en égalité ou identité, est dit un système de solutions de l'équation. Résoudre une équation, c'est chercher tous les systèmes de solutions de cette équation. On dit encore que x , y , z ,... vérifient l'équation proposée ou satisfont à l'équation proposée.
Une équation est dite à une inconnue, à deux inconnues, à trois inconnues,... suivant qu'elle renferme une, deux, trois,... inconnues.
Si l'équation ne renferme qu'une inconnue x et est vérifiée pour a?=# , on dit encore que x est une solution ou une racine de l'équation proposée.
Exemples. — L'équation
est une équation numérique à une inconnue qui admet les deux racines 2 et 3.
L'équation
est une équation numérique à deux inconnues qui admet le système de solutions a? =5, y = — 4.
L'équation
x 2 — (a4-b)x-\-ab =
est une équation littérale à une inconnue, qui est vérifiée par les deux racines a et b : a et b sont les paramètres de Téquation.
L'équation
# 2 ~ y* = Aab
est une équation littérale à deux inconnues et à deux paramètres, à laquelle satisfait le système de solutions
On dit d'une équation qu'elle est rationnelle ou irrationnelle, entière ou fractionnaire, par rapport à certaines inconnues, en même temps que les expressions algébriques qui y figurent sont elles-mêmes rationnelles ou irrationnelles, entières ou fractionnaires, par rapport à ces inconnues. Si Ton considère à la fois toutes les inconnues, l'équation est dite alors simplement rationnelle ou irrationnelle, entière ou fractionnaire suivant le cas.
Le degré d'une équation entière et rationnelle par rapport à certaines inconnues est la somme des exposants de ces inconnues dans les termes où cette somme a la plus grande valeur; le degré total ou simplement degré d'une équation entière et rationnelle est la somme des exposants des inconnues dans les termes où cette somme a la plus grande valeur.
De même que les polynômes, les équations entières et rationnelles ont une importance prépondérante. C'est à leur résolution que Ton ramène celle de toutes les autres.
Exemple. — L'équation
x* 4- s/a + ij — 2o# = 37y 2
est entière et rationnelle du second degré par rapport à x. L'équation
est entière et rationnelle du cinquième degré.
Plusieurs équations qui renferment les mêmes inconnues et qui admettent des systèmes de solutions com~ muns sont dites former un système d'équations simultanées.
On peut répéter sur un système d'équations simuU tanées ce que nous avons dit sur les équations isolées. Ainsi le système
est vérifié par le système de solutions #=5, y =4. Ce sont deux équations numériques entières et rationnelles à deux inconnues; chacune d'elles est du second degré.
Résoudre un système d'équations simultanées, c'est chercher lous les systèmes de solutions qui vérifient simultanément toutes les équations du système.
95. — Nous avons déjà insisté sur ce fait que les solutions d'une ou plusieurs équations étaient nécessairement finies; c'est qu'en effet prendre un nombre variable (et les nombres infinis sont essentiellement variables) comme solution d'une équation n'a aucun sens.
Soit une équation P = Q, et remarquons que si x , y , *o, ■•• forment un système de solutions de cette équation, la différence des valeurs numériques de P et Q est nulle pour x = x ,y = yo, z = z 0l ... et inversement. Alors, si pour certaines valeurs ffo» 2/o» z 0t ... attribuées aux inconnues, les quantités P et Q deviennent toutes deux infinies ou toutes deux indéterminées, ces valeurs formeront encore un système de solutions de l'équation, si la différence P — Q a une valeur nulle, ou devient indéterminée avec possibilité de devenir nulle, quand on y fait x = x ti , y = y , z = z 0t ... et dans ces cas seulement.
De môme, les quantités x , y > s ,... forment un système de solutions pour plusieurs équations simultanées, P = Q, P' = Q', P" = Q",... bien qu'elles rendent un certain nombre des expressions P, Q, P', Q',... infinies ou indéterminées, si, comme dans le cas général, ces valeurs vérifient séparément les diverses équations données.
Exemples. — L'équation
n'admet pas la racine x = — 2, parce que pour cette valeur, la différence des deux membres prend la valeur — 9.
Au contraire l'équation
admet la racine x = — 2 ; car. pour cette valeur, la différence des deux membres prend la valeur 0.
L'équation
admet le système de solutions a? = 0, y = 0, qui rendent le premier membre totalement indéterminé.
Le système d'équations simultanées
admet de môme le système de solutions x = 0, y = 0.
96. — Toutes ces remarques s'appliquent aussi bien aux équations numériques et aux équations littérales: mais, dans ce dernier cas, on est encore amené à faire de nouvelles conventions, en observant les mômes principes qu'au chapitre v du livre I er .
Supposons que pour une équation littérale ou un système d'équations littérales simultanées, on ait trouvé tous les systèmes de solutions et soit x . y , Zo> ••• l'un d'eux.
Donnons maintenant aux paramètres des valeurs particulières finies ou infinies a , b , c ...; alors, les expressions algébriques x , yo, £ t — ' prendront certaines valeurs numériques finies ou infinies, déterminées ou indéterminées, x' 0t y' 0t z' ... D'autre part, si l'on remplace dans les équations données a, b, c,... par a , b , c ,... on obtient un système d'équations numériques qui admettra en général tous les systèmes do solutions x' , y' , z' 0i ... et seulement ceux-là.
Nous avons dit en général, parce que des exceptions peuvent se produire toutes les fois que les paramètres ont reçu des valeurs numériques telles que pour ces valeurs, ou bien les équations données deviennent dénuées de sens, ou bien les opérations que l'on a faites pour trouver les solutions a? , 2/ . £<>••• deviennent elles-mêmes dénuées de sens.
Si l'on remarque cependant que a, b, c,... recevant des valeurs numériques qui tendent respectivement vers a , b , c .... les valeurs des expressions x , y , z ,... tendent respectivement versai, y' , z' 0t ...ou est amené à dire que les équations données
admettent pour a = a 0i &=&<>, c=c ..., les systèmes de solutions x'o, y' 0t s'o,... et ceux-là seulement. Exemples. — 1° L'équation
admet la solution unique (nous le verrons plus loin)
ar ===2(a— l)(a— 2);
pour u= 1 on a a?' = et l'équation donnée n'a pas de sens; on dit que, pour a= 1, elle admet la solution a?= 0. 2° L'équation
a*x = ax + 2
admet la solution unique
Xo = « •
pour a = 1, on a x' = oo et d'autre part l'équation donnée devient x = # + 2 et n'a pas de racines. On dit que l'équation donnée a une racine infinie pour a = 1.
3° L'équation
ax + &* = bx + a*
admet la solution unique
pour a = 6=l, on a a?' = 2, et d'autre part l'équation donnée devient x-\- 1 = x + 1» et est vérifiée par un nombre quelconque.
On dit que l'équation donnée a la racine unique x = 2 pour a=zb=z 1.
Remarque. — Ce qui précède montre bien la différence qu'il faut faire entre une équation numérique donnée comme numérique, ou dérivée d'une équation littérale dans laquelle on a remplacé les paramètres par certaines valeurs numériques.
Au surplus, il ne faut pas oublier que c'est toujours en examinant ce qui se passe dans des cas très voisins, mais exempts de difficultés, que l'on arrive à étendre aux cas exceptionnels le langage et les règles ordinaires.
§ 2. — Principes relatifs à une équation.
97. — Deux équations renfermant les mêmes inconnues sont équivalentes lorsqu'elles admettent les mêmes systèmes de solutions.
Pour résoudre une équation donnée P = Q, on la remplace successivement par de nouvelles équations équivalentes d'une forme plus simple et plus commode.
Si Ton transforme une équation comme on transformerait une égalité d'après les règles du calcul des nombres algébriques et du calcul algébrique, on obtiendra en général une nouvelle équation équivalente à la première; dans tous les cas, si Ton a perdu des solutions, ou si Ton a introduit des solutions étrangères, il sera facile de connaître quelles sont ces solutions. En effet, une solution a? , j/ , z ,... de la première équalion appartiendra à la seconde, si, quand les inconnues prennent les valeurs a? , j/ , z ,... les opérations que Ton a faites pour passer de la première équation à la seconde conservent un sens et demeurent légitimes; sinon, cette solution a pu être perdue. De même, une solution x , y , z ,... de la seconde équalion appartiendra à la première si, quand les inconnues prennent ces valeurs, les opérations que Ton doit faire pour passer de la seconde équation à la première conservent un sens et demeurent légitimes; sinon, cette solution peut être étrangère.
Il faut donc chercher les solutions perdues et les solutions étrangères introduites parmi les nombres ou les expressions qui, mis à la place des inconnues, ôtent leur sens aux opérations qui permettent de passer de la première équation à la seconde ou de la seconde à la première, ou qui cessent de rendre ces opérations légitimes.
Exemples. — Soit l'équation
on peut faire passer le terme — 3x* dans le premier membre à condition de changer son signe et obtenir ainsi la nouvelle équation
équivalente à la première, car on n'a perdu aucune solution, ni introduit aucune solution étrangère.
Soit Téquation
qui a les seules solutions x=i et a? =2.
En multipliant ses deux membres par x — 3, on a la nouvelle équation
(ar— 4)(a? — 2)(a? — 3) =
qui admet la solution étrangère x= 3, parce que, quand x prend la valeur 3, on ne peut passer de la seconde égalité à la première, puisque pour cela il faudrait diviser ses deux membres par le nombre nul x — 3.
De même, en divisant les deux membres de Téquation donnée par x — i , on a la nouvelle équation
et Ton a perdu la solution x= i .
En divisant les deux membres de l'équation
par x — 1, on ne perd aucune solution; mais on ne peut l'affirmer qu'après vérification directe.
De même, en multipliant les deux membres de l'équation
par x — \ , on n'introduit pas la racine étrangère x == 1 , comme on le voit après vérification directe.
98. — Puisque pour résoudre l'équation P = Q, il faut chercher les nombres ou les expressions qui annulent P — Q, il est clair qu'on obtient une équation équivalente à l'équation proposée en égalant à zéro une expression algébrique quelconque X, identique à P — Q.
Pratiquement, on fera passer tous les termes de l'équation dans un même membre, en changeant les signes de tous les termes que l'on transporte d'un membre dans un autre, et l'on obtiendra ainsi une équation équivalente à l'équation proposée et de la forme X = 0.
Si la fonction X est entière et rationnelle, on réduira
ses termes semblables, et l'équation proposée se trouvera mise sous la forme la plus simple possible, celle d'un polynôme égalé à zéro.
Exemple. — L'équation
5a? — 4 = 3a?-f5 s'écrira sous les formes successives
Remarquons que le degré d'une équation entière et rationnelle par rapport à certaines inconnues, tel que nous l'avons défini au n° 94, peut n'être qu'un degré apparent. Ainsi, l'équation
est en réalité du premier degré, quoique du second en apparence, parce que le terme a? 2 commun aux deux membres peut être supprimé et que l'équation peut s'écrire :
Pour évaluer avec certitude le degré d'une équation entière et rationnelle par rapport à certaines inconnues, il faut donc d'abord faire passer tous les termes dans un même membre et réduire les termes semblables.
99. — Revenons à l'équation X=0. Le cas où X est une expression entière et rationnelle sera examiné plus
loin. Si l'expression X n'est pas entière, elle peut se
mettre sous la forme du quotient - de deux expressions
entières, rationnelles ou irrationnelles. Ces expressions, bien entendu, pourront être simplifiées autant que possible ainsi que leur rapport.
Pour résoudre l'équation — = 0, on multiplie ses deux
membres par Z, ce qui donne la nouvelle équation équivalente en général Y=0.
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ, i 49
11 est clair que, de celte façon, on n'a pu perdre aucune solution, car Z, qui est une expression entière, prend toujours une valeur déterminée et finie quand les inconnues reçoivent des valeurs quelconques finies.
Mais, on a pu introduire des solutions étrangères, et ces solutions sont parmi celles qui vérifient l'équation Z=0, car dans ce cas seulement on ne peut passer
de l'équation Y=0 à l'équation donnée - = 0.
On résoudra donc l'équalion Y=0; tout système de solutions a? , y , z ,... qui n'annulera pas Z sera un système de solutions de l'équation donnée; mais pour tout
système de solutions de Y=0 annulant Z, il faudra
y chercher directement la valeur de — : si cette valeur est
nulle ou indéterminée avec possibilité de devenir nulle, la solution considérée appartiendra à l'équation donnée; sinon, ce sera une solution étrangère.
Dans le cas où l'équation Z=0est facile à résoudre, et c'est ce qui arrive le plus ordinairemenl, on pourra procéder autrement pour savoir si l'on a introduit des solutions étrangères et quelles sont ces solutions. Une solution de Z = qui annule Y est seule une solution étrangère possible : on reconnaîtra s'il en est ainsi réellement par un essai direct, comme précédemment.
Remplacer l'équation •= = par l'équation Y=0, c'est
ce qu'on appelle chasser les dénominateurs de l'équation donnée. Remarquons que pour faire cette opération, il n'est pas nécessaire de mettre explicitement l'équation
donnée sous la forme - = : il suffit cle multiplier tous
ses termes par une expression entière Z choisie de façon que la nouvelle équation obtenue soit entière.
Exemples. — Chasser les dénominateurs dans l'équation
x % — 16 n Ax A — x ' 3(a?+4)
H suffit de multiplier tous les termes par
Z = 12ar(a? 2 — 16)
pour faire disparaître à la fois les dénominateurs littéraux et même les dénominateurs numériques.
On obtient ainsi la nouvelle équation
On a pu introduire comme solutions étrangères les solutions de Z=0, qui sonl évidemment a?~0, a? = 4, x— — 4. Mais aucune de ces solutions n'est racine de la nouvelle équation : celle-ci est donc équivalente à l'équation proposée.
Soit encore à chasser les dénominateurs dans l'équation
En multipliant tous les termes par
Z==2(a?*-16), on obtient l'équation
Les solutions étrangères annulant Z ne peuvent être que —2 et + 2; la première de ces valeurs ne vérifie pas Y=0, mais la seconde vérifie Y— -0 : c'est une solution étrangère possible.
Pour reconnaître si a? = 2 est solution étrangère ou non, remarquons que l'on a
en divisant les deux termes par x — 2, il vient
de sorte que, pour x = 2, la valeur de — est — ; la solu-
tion a? = 2 est donc étrangère.
Considérons enfin l'équation
En multipliant tous les termes par
Z==32(ar* — 16),
on obtient l'équation
Y = 32(x+2) — 16(ar , -f4) + (x 4 — 16) = 0.
La seule solution étrangère possible est x = 2 qui annule à la fois Z et Y. Or on a :
Y ar* — 16^+32.r — 16__ # s +2#* — 12# + 8
Z ~~ 32(* 4 — 16) ~" 32(a? 8 + 2ar 2 + Ax + 8)
et par suite la valeur de — pour a? =2 est 0. L'équa-
Ià
tion Y=0 est donc équivalente à l'équation donnée.
100. — Nous venons de ramener la résolution d'une équation donnée quelconque à celle d'une équation entière Y = : s'il y a des solutions étrangères introduites, nous les connaissons.
Si l'expression Y est rationnelle, l'équation donnée est ramenée à sa forme la plus simple.
Examinons donc le cas où Y est irrationnelle, et de cette façon nous aurons épuisé tous les cas possibles.
On peut toujours multiplier Y par une expression entière Y' telle que le produit YY' soit entier et rationnel (87). C'est ce qu'on appelle chasser les radicaux dans l'équation Y = 0. En remplaçant l'équation Y = par l'équation YY' = 0, on obtient une équation qui, outre les racines de Y = 0, admet celles de Y' = 0, et qui d'ailleurs n'a pas d'autres solutions à moins que ce ne soient des quantités ne donnant pas de sens à Y et Y'. En effet, pour des valeurs finies attribuées aux inconnues (et l'on ne peut leur en attribuer d'autres), Y et Y' étant des fonctions entières prennent des valeurs déterminées et Unies : donc, pour que le produit YY' soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul, comme quand il s'agit de nombres algébriques ordinaires.
Oa résoudra donc l'équation YY' = 0, et Ton cherchera parmi ses solutions celles qui vérifient Féquation Y = 0, à l'aide d'essais directs ; toutes les autres seront étrangères.
Exemple. — Soit l'équation
x — \Jx — 4 + \/(x — 4) (x + 1) = 0.
On chasse le radical yaT-j-1 en multipliant par
x — \/x — 4 — v/(ff — 4) (x + 1) ;
il vient, après réduction :
2*(2 — sjx — 4) = 0.
Multipliant par 2 + V^ — 4» il vient :
ou en divisant par 2, et changeant les signes :
La solution x = est étrangère : pour a? = l'équation donnée n'a pas de sens. La solution x = $ est aussi étrangère : elle convient à l'équat ion
x— \jx — 4 — \/[x — 4)(#+ 1) = 0.
L'équation donnée n'a donc aucune solution.
Quand l'expression Y contient un seul radical d'indice /*,
y/A, on peut encore chasser ce radical en l'isolant dans l'un des membres de l'équation, puis en élevant les deux membres de
l'équation ainsi obtenue, de la forme Y' — j/Â, à la puissance n™. Ce procédé ne diiîère pas au fond du précédent, puisque l'on a l'identité
mais en l'appliquant, on peut dire, grâce aux règles de calcul relatives aux égalités : si n est impair, la nouvelle équation obtenue est équivalente à l'ancienne; si n est pair, toute solution de la nouvelle équation est solution de l'équation donuée si elle donne à Y" une valeur positive ou nulle; sinon, elle vérifie
l'équation Y' = — y/X (à moins encore qu'elle ne donne pas de
de sens à yA).
Exemple. — Soit l'équation
On l'écrit sous la forme
2x+\ = \Zx+i6;
ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. 153 élevant les deux membres au carré, il vient après réductions :
La solution x=0 vérifie l'équation donnée, car 2a? + 4 prend
alors une valeur positive.
La solution a? = — est étrangère et vérifie l'équation
car 2a? + 4 prend alors une valeur négative.
101. — Toute équation peut être mise, nous venons de le voir, sous forme entière et rationnelle X = 0; cette nouvelle équation contient toutes les solutions de l'équation proposée, et dans certains cas des solutions étrangères, toujours faciles à reconnaître.
Il existe deux cas singuliers sur lesquels il est nécessaire de dire un mot :
1° Le polynôme X peut être identiquement nul. Dans ce cas l'équation X = est vérifiée par tout système de valeurs attribuées aux inconnues, mais il n'en est pas nécessairement de même de l'équation donnée : ceci dépendra des solutions étrangères introduites. En général, il sera facile de voir ce qu'il en est.
Exemple. — Soit l'équation
Mettant cette équation sous la forme X= 0, on trouve X=: ; ici on n'a introduit aucune solution étrangère; l'équation proposée est vérifiée pour toute valeur attribuée à a\
Soit encore l'équation
a? = l/ïc*;
en élevant les deux membres au carré pour mettre l'équation sous forme entière et rationnelle, on trouve encore Xjr= ; mais
on a introduit les solutions de l'équation a? = — \x % : l'équation proposée est vérifiée pour toute valeur positive ou nulle attribuée à a?.
2° Le polynôme X peut se réduire à une expression non identiquement nulle, mais indépendante des inconnues.
Alors, l'équation X = est impossible, c'e&t-à-drre n'admet aucune solution ; comme dans le cours des transformations, on n'a perdu aucune solution (si Ton a eu soin de les faire comme nous avons indiqué, sans jamais supprimer de facteur commun à tous les termes d'une équation et renfermant les inconnues), il en est de même de l'équation proposée.
Exemple, — Soit l'équation
2a? Ix , Sx bx , ^
mettant cette équation sous la forme X — O, on trouve X=zl4. L'équation donnée est impossible.
Ces cas exceptionnels mis à part, le polynôme X dépendra des inconnues; si X ne renfermait que certaines des inconnues, on formerait les solutions de l'équation donnée en adjoignant aux solutions de X=0 des valeurs arbitraires pour les inconnues qui ne figurent pas dans X, et prenant soin toutefois d'éviter les solutions étrangères.
§ 3. — Généralités sur les équations entières et
rationnelles. Résolution de l'équation
du premier degré à une inconnue.
102. — Nous avons ramené la résolution d une équation à celle d'une équation X = 0, entière et rationnelle.
Si le polynôme X renferme plusieurs inconnues, on choisira spécialement Tune de ces inconnues, et Ton regardera les autres comme des paramètres pouvant recevoir des valeurs arbitraires. On formera alors les systèmes de solutions en résolvant l'équation à une seule inconnue ainsi obtenue.
Ainsi pour résoudre l'équation
ff 2 + y* = 4, .
on regardera y comme un paramètre, et on résoudra l'équation en x ainsi obtenue. Cette équation, qu'on peut écrire sous la forme
n'est possible que si la valeur absolue de y est au plus égale à 2, et admet alors les deux solutions V4--y*
et— ^4 — y a .
Les solutions de l'équation proposée sont donc obtenues en donnant à y une valeur arbitraire a u plus é gale
à 2 en valeur absolue et en prenant x = dz V^4 — y*.
