Nous sommes ainsi ramenés au cas d'une

équation X=0, à une seule inconnue, X étant un polynôme entier. La méthode générale pour résoudre une telle équation consiste à ramener cette résolution à celle d'équations plus simples.

Si Ton sait mettre le polynôme X sous la forme d'un produit de facteurs A, B, G,... qui sont eux-mêmes des polynômes, il est clair que les solutions de X = seront les diverses solutions distinctes des équations plus simples A=0, B=0, C=0... En effet, pour toute valeur finie attribuée à l'inconnue, les polynômes X, A, B, C,... prennent des valeurs déterminées et finies, et Ton peut appliquer cette proposition : pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul.

Exemple. — Soit l'équation

X = # 8 — x* — 4.r + 4 = 0; on voit aisément que Ton a :

X = (tf — l)(tf 2 — 4) = (ar — l)(a? — 2)(* + 3);

on est donc ramené à la résolution des équations x— -1=0, ar — 2=0, x + 2=0,

dont les racines sont en évidence: les racines de l'équation proposée sont x=i, x=% x= — 2.

Soit encore l'équation

On a :

et l'on est ramené à la résolution des équations a?-fl=0 et a? 2 +4=i0;

la première a pour unique racine x= — 1; la seconde n'a évidemment aucune racine, puisque le carré d'un nombre quelconque est positif; donc l'équation proposée a pour racine unique x= — 1.

104. — Supposons que Ton connaisse une racine x de l'équation X=0. Alors le polynôme X qui s'annule

pour a?=a? , est divisible par x — x ; si X' est le quotient, puisqu'on aX = (a: — x )X', on voit qu'on est ramené à résoudre l'équation X'=0, qui est plus simple. Exemple. — L'équation

admet la racine x = — 1 . Pour trouver les autres racines, il suffit de résoudre l'équation que l'on obtient en divisant le premier membre par #-}- 1, c'est-à-dire

a? 4 — ar s + a? — 2 = 0.

Remarque. — On voit avec quel soin il faut laisser en évidence les divers facteurs que l'on peut apercevoir communs aux différents termes d'une équation.

105. — L'équation la plus simple est l'équation du premier degré à une inconnue : elle est facile à résoudre.

L'équation du premier degré à une inconnue se présente sous la forme

aa?-|-ô=0,

a et b étant des nombres ou bien des expressions algébriques dépendant de paramètres, suivant que l'équation est elle-même numérique ou littérale. Dans tous les cas, le coefficient a n'est pas nul. On peut diviser le premier membre par la quantité a qui est fixe et non nulle, et l'on obtient l'équation équivalente

b ou encore a? = ,

qui a évidemment une racine et une seule, .

Exemple. — L'équation

se met sous la forme équivalente

qq ij

elle a une racine unique égale à — ou — •

yu ou

Si l'équation est littérale, il peut se faire que, pour certaines valeurs attribuées aux paramètres, l'expression a s'annule, ou bien que a et b n'aient pas de valeur numérique directement calculable. Dans tous les cas, d'après ce que nous avons convenu, nous dirons que pour ces valeurs l'équation ax-\-b = Q a

une racine égale à la valeur numérique de pour ces valeurs

particulières des paramètres, si cette valeur existe, unie ou

infinie; si devient indéterminée, nous dirons que l'équation

est vérifiée pour toute valeur attribuée à a? (à condition que cette

valeur soit parmi celles que peut prendre ) •

Exemple. — Considérons l'équation

déjà rencontrée au n° 51, pour déterminer le point qui divise un segment dans un rapport donné.

En multipliant par b — a? et réduisant, on a l'équation équivalente

x{\ - m) = a — bm;

on n'a pas introduit la solution étrangère x = b qui ne vérifie pas cette dernière équation.

L'équation donnée a donc l'unique solution

a — bm

Considérons a et b comme des nombres donnés distincts, et m

comme un paramètre. Si m= 1, — prend une valeur

'infinie : l'équation donnée a une racine infinie pour w=l.

Si m = », prend la valeur b : l'équation donnée admet

la racine b pour m = oo .

Ces résultats sont conformes à ceux que l'on trouve par des considérations géométriques directes.

Nous rencontrerons ultérieurement bien d'autres exemples de faits analogues.

§ 4. — Principes relatifs à un système d'équations simultanées.

106. — Deux systèmes d'équations simultanées renfermant les mêmes inconnues sont dits équivalents lorsqu'ils admettent les mêmes systèmes de solutions.

Pour résoudre un système d'équations simultanées, on le remplace successivement par de nouveaux systèmes équivalents d'une forme plus simple et plus commode.

En transformant un système d'équations comme on transformerait un système d'égalités, on obtiendra en général un nouveau système équivalent au premier. Cependant il pourra y avoir des solutions perdues ou des solutions étrangères introduites : une discussion semblable à celle du n° 97 permettra de déterminer à l'avance ces solutions.

Voici les principales transformations que l'on peut faire subir avec avantage à un système d'équations simultanées, en prenant bien soin chaque fois de discuter les solutions perdues ou les solutions étrangères.

On peut transformer chacune des équations du système comme une équation isolée, et en particulier la mettre sous forme rationnelle et entière.

On peut ajouter ou retrancher plusieurs équations données membre à membre, ou encore les multiplier membre à membre, ou encore diviser deux équations membre à membre, etc.

On peut encore remplacer dans une ou plusieurs des équations données une expression algébrique dépendant des inconnues par une autre qui prend même valeur numérique pour tout système de solutions, en vertu même des équations données.

Soit un système d'équations entières et rationnelles

et supposons que le polynôme X puisse se mettre sous la forme d'un produit de facteurs de même forme A, B, G,... Alors, il est clair comme au n° 103 que, pour résoudre le système proposé, on peut résoudre successivement les systèmes

Gomme application, remarquons que si Ton remplace le système

par le nouveau système

XX' + YY' + ZZ'+...=0, Y = 0, Z = 0,...

X, Y, Z,... X', Y', Z',... étant des polynômes par rapport aux inconnues, ce nouveau système admettra toutes les solutions du premier, et en outre des solutions étrangères qui vérifieront le système

En effet le nouveau système considéré est équivalent à