XX' =0, Y=0, Z

puisque, pour tout système de solutions, les expressions Y, Z,... prennent une valeur nulle.

Cette transformation est souvent employée, surtout dans le cas où X' ne dépend pas des inconnues ; alors le nouveau système est équivalent au premier.

107. — Pour résoudre un système d'équations simultanées, il est convenable de le mettre d'abord sous forme d'équations entières et rationnelles, X=0, Y=0, Z = 0,... en profitant de toutes les simplifications que Ton peut apercevoir.

Ensuite on élimine une des inconnues, x par exemple, c'est-à-dire qu'on ramène la résolution du système à celle d'un système de la forme suivante :

x étant une expression qui dépend des inconnues y, z,... autres que x, et Y', Z',... étant des expressionsqui ne dépendent que des inconnues y, z...

Cette élimination est facile si l'équation X = est du premier degré par rapport à x; en effet, en la résolvant on la met immédiatement sous la forme x=x 01 et il suffit alors de remplacer x par x dans les équations Y=0, Z = 0,... pour obtenir les équations Y' = 0, Z'=0...

Exemple. — Eliminer x entre les équations

xy = 6;

de la première on tire x = 5 — y, et portant dans la seconde, on obtient le système équivalent

^ Il est encore facile d'éliminer x quand on sait résoudre l'équation X=0 considérée comme renfermant la seule inconnue x; si en effet*., #' , #" ,... sont ses diverses solutions, le système proposé peut évidemment être remplacé par l'ensemble des divers systèmes

x = af„ Y = 0, Z = 0,...

puisque X ne peut s'annuler que si l'on a x=x , ou x=x' ...; et chacun de ces systèmes est de la forme précédemment examinée.

Exemple. — Eliminer x entre les équations

x 2 + xy — 5# — 4y + 3 = 0.

La première donne x = y et x = — y; on a donc les deux systèmes

X y^ ( ffi «y

*'+ aJ y-5a:-4y+3=0, et U«+ a; yL5tf-4y+3=0,

ou, en éliminant x dans chacun d'eux,

(2y'-9y + 3 = 0, el j</ + 3 = 0.

Dans les autres cas, l'élimination de l'inconnue x est un problème plus difficile; nous allons faire comprendre seulement par un exemple simple comment on peut y arriver.

Soit à éliminer x entre les équations

( x z — hx*y -f y 9 = 0, I a?* + 2a?» y 1 — 3t/ 3 = 0.

Multipliant la première par 3 et ajoutant avec la seconde membre à membre, on a le système équivalent

j x* — hx*y + y 8 = 0,

qui peut se remplacer par les deux systèmes

( x* — hx x y + î/ 8 = 0, ( x* — hx % y + y* = 0,

| x = 0, et (a?* + 3a? + 2</* — 15î/ = 0.

Le premier, par élimination de a?, conduit à

Examinons le second. Multipliant la seconde équation par x et retranchant de h première membre à membre, on a le système équivalent

f - (ôy + 3)a> 8 + (15y - 2y*)x + y» = 0, I x 1 + 3a? + 2t/* — 15y = 0.

Multipliant encore la seconde par by + 3 et ajoutant membre à membre avec la première, on a le système équivalent

( (— V +30y + 9)a?+ lly 3 — 69t/ s — 45y = 0, J a?* + 3a? + 2t/« — 15# — 0,

d'où

/ lly 8 -69y»--45t/\ » Uy 8 -

- 69y« - 45if 2i 15lf = .

L'élimination de a? est réalisée.

Nous n'insisterons pas davantage sur l'élimination en général, dont nous n'aurons pas besoin par la suite.

108. — Par l'élimination d'une inconnue, on voit que Ton remplace le problème de la résolution d'un certain nombre d'équations renfermant un certain nombre d'inconnues par celui de la résolution d'un nombre moindre d'équations renfermant moins d'inconnues. En effet il suffit de savoir résoudre les équations

En général, le nombre des équations diminue d'une unité ainsi que celui des inconnues; mais, dans certains cas particuliers, le nombre des équations peut diminuer de plus d'une unité ainsi que le nombre des inconnues.

Il est donc clair qu'en éliminant successivement plusieurs inconnues on arrivera finalement :

ou bien à des équations de la forme 0=0 qui sont vérifiées quelles que soient les valeurs des inconnues qui devraient y figurer ;

ou bien à des équations dont Tune au moins est de la forme a = 0, a étant un nombre non nul ou une expression dépendant des paramètres non nulle ; cette équation étant impossible, le système est lui-même impossible : d'ailleurs, en général, un système d'équations simultanées est impossible dès que l'une des équations est elle-même impossible;

ou bien à une équation proprement dite renfermant une ou plusieurs inconnues, et dont la résolution conduira à celle du système.

En général, on sera dans le second cas, si le nombre des équations données est supérieur à celui des inconnues, car alors on peut éliminer toutes les inconnues.

En général aussi, on arrivera finalement à une équation à une seule inconnue si le nombre des équations données est égal à celui des inconnues, et à une équation à p inconnues, si le nombre des équations données dépasse de p le nombre des inconnues.

Pour faciliter le langage, nous dirons d'un système d'équations, qu'il est impossible, déterminé ou indéterminé, suivant qu'il n'admet pas de solutions, qu'il en

admet un nombre fini, ou un nombre infini. On dira de même en parlant d'une seule équation.

Suivant que le nombre des équations est supérieur, égal ou inférieur au nombre des inconnues, il y a en général impossibilité, détermination ou indétermination.

Quand il y a indétermination, cela ne veut pas dire que toutes les inconnues peuvent recevoir des valeurs arbitraires ; en général certaines d'entre elles sont dans ce cas, et les autres sont alors déterminées par les premières.

Nous n'insisterons pas davantage sur ces considérations presque intuitives, et qui seront suffisamment mises en évidence par la suite. Remarquons seulement que ce sont les systèmes dans lesquels les inconnues sont en nombre égal à celui des équations qui offrent le plus grand intérêt. Enfin, répétons qu'il faut prendre les plus grandes précautions pour éviter de perdre des solutions ou d'introduire des solutions étrangères.

109. — Un procédé de résolution d'un système d'équations ou d'une équation est encore à signaler et à rapprocher de ce qui précède ; c'est celui qui consiste à choisir des inconnues auxiliaires, lorsque par là on amène des simplifications. En réalité ceci revient à introduire de nouvelles inconnues et de nouvelles équations exprimant les relations entre les nouvelles et les anciennes inconnues.

Exemple. — Soit le système

prenons comme inconnues auxiliaires x' = - et y' = - »

on a les équations plus simples

ANDOYER. — ALGÈBRE. 8

En réalité, on a éliminé x et y entre les équations du nouveau système

Remarquons que de cette façon on peut perdre certaines solutions toujours faciles à reconnaître : ainsi dans l'exemple considéré on perd la solution x=0, y=0 qui appartient aux équations données et que Ton ne peut retrouver, puisque x' et y' ne peuvent pas prendre de valeurs infinies.

§5. — Principes relatifs aux inégalités.

110. — Si À et B sont deux expressions algé b r iqu es dépendant d'inconnues ar, y, s,... et de paramètres a, ô, c..., on peut chercher quelles sont les valeurs des inconnues qui rendent la valeur de la première plus grande ou plus petite que celle de la seconde. C'est ce qu'on appelle résoudre l'inégalité

A>B ou A<B.

Les considérations du § 1 er peuvent se répéter presque mot pour mot quand il s'agit d'inégalités : les modifications à faire sont évidentes.

Il en est de même des considérations relatives à l'équivalence.

D'une façon générale, on raisonnera sur les inégalités à résoudre comme sur les inégalités numériques.

Donc, en particulier, toute inégalité A > B peut être ramenée d'abord à la forme X > 0.

Si X est une expression entière et rationnelle, on gardera l'inégalité sous cette forme, la plus simple possible.

Si X est une expression fractionnaire de la forme -, on

ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ. ltiS

peut toujours supposer que Z est un produit de facteurs entiers, les uns toujours positifs A, B, G,... les autres

dont on ne connaît pas le signe, A', B', G',... ; alors on

peut remplacer l'inégalité - > par l'inégalité

Y. A'. B'. C'...>0; en effet ceci revient à multiplier les deux membres de l'inégalité ^> par la quantité positive ABC ... A' S B' 2 G'*...

C'est ce qu'on appelle chasser les dénominateurs dans l'inégalité donnée.

Exemple. — Pour chasser les dénominateurs dans l'inégalité

ar + i^ ■ (ar + 2) 2

on multipliera ses deux membres par (x-\- {)* (x-\-2) 2 et l'on obtiendra l'inégalité équivalente

Plus généralement, on se souviendra qu'on peut multiplier ou diviser les deux membres d'une égalité par une quantité positive sans changer son sens, ou par une quantité négative, à condition de changer son sens.

Envisageons maintenant une inégalité X > dont le premier membre est entier et irrationnel. On peut multiplier X par une quantité X' telle que le produit XX' soit entier et rationnel; alors d'après ce que nous venons de rappeler, on résoudra les deux inégalités XX' > et XX' < 0, et l'on prendra les solutions de la première qui donnent à X' une valeur positive et les solutions de la seconde qui donnent à X' une valeur négative.

Plus simplement, on peut chasser un radical d'indice n en isolant ce radical dans l'un des membres de l'inégalité, qui prend alors la forme A>B, et élevant les deux membres de cette inégalité à la puissance n. Si n est impair, l'inégalité A n > B tt est équivalente à la proposée;

si n est pair, on résoudra les deux inégalités A n > B n et A" < B n , et l'on prendra les solutions de la première qui donnent à A une valeur positive et les solutions de la seconde qui donnent à B une valeur négative (47, 5°). Exemple. — Soit l'inégalité

élevant les deux membres au carré, on est amené aux deux inégalités

x % -\-9 ^ ar f + l o? s + 9 a? f + l '. ■

ou en multipliant par la quantité positive (x* -\- 1 ) (a?* -f- 9) et réduisant

— 4a? (a? 1 — 3) > et — 4a? (a?* — 3) < 0, ou encore :

— a? (a? -Va) (ar4-/3) >0 et —a? (a?— V^) {x + */3) <0. Les solutions de la première sont évidemment a?<-V3 et 0<a?<V / 3; celles de la seconde sont

— \/3 < x < et ^3 < a;.

Celles de la première rendent toutes négatif,

Va?» + 9 et par suite sont à rejeter.

Celles de la seconde rendent JZL négatif seu-

Vx* 4-i

lement si Ton a — y 3 < x < : ce sont donc là les seules solutions de l'inégalité proposée.

111. — Pour résoudre une inégalité entière et rationnelle X > 0, on choisira une inconnue x } et l'on décomposera X en facteurs de signes constants ou du premier

degré par rapport à X, et il est clair que, pour cela, il faut savoir résoudre l'équation X = par rapport à x. Alors, en divisant par le produit des facteurs de signe constant, on est ramené à une inégalité de la forme

suivant les cas, où Ton peut supposer les quantités a, b, c, d,... k, l rangées par ordre de grandeur décroissante. Si maintenant on remarque qu'un produit de plusieurs facteurs est positif ou négatif suivant qu'il renferme un nombre pair ou impair de facteurs négatifs, et aussi qu'un facteur tel que x — a est positif ou négatif suivant que x est supérieur ou inférieur à a, on voit que l'inégalité

est vérifiée quand l'on a :

x > a, ou bien &>#>£,...

et que l'inégalité contraire

est vérifiée quand l'on a :

a> x> b, ou bien c > x > d. . .

Nous avons déjà appliqué cette règle intuitive dans l'un des exemples précédents.

Voici encore un autre exemple.

Soit à résoudre l'inégalité

on obtient successivement les inégalités équivalentes

et par suite les solutions sont données par la condition

112. — On peut résoudre plusieurs inégalités simultanées en résolvant chacune d'elles et prenant leurs solutions communes.

Exemple. — Soit à résoudre les deux inégalités simultanées

La première donne

et la seconde

Si x x et x 2 sont ces deux limites, il faut donc que x soit supérieure à la plus grande des deux.

On aura x x > x 2 si Ton a :

ou bien

iiy > 12 ou bien y > —-

On a de même x t <x 2 si Ton a y < —•

Donc les inégalités proposées sont vérifiées par

et aussi par

v > — et x > -^— ! — ,

y ^ll ^ 2

< __ et a? > *