f ar
d'où
Celle solution convient au problème, puisqu'elle est positive.
Problême XVIII
Un père a 60 ans, son fils en a 22; dans combien de temps l'âge du père sera-t-il triple de celui du fils?
On a l'équation
60 + tf = 3(22 + #),
où x représente le temps cherché mesuré en années. On en tire :
Le problème est donc impossible; jamais l'âge du père ne sera le triple de celui du fils.
Problème XIX
Un père a 60 ans, son fils en a 22; on demande Tèpoque à laquelle l'âge du père est triple de celui du fils.
Comptons le temps dans les deux sens à partir du moment donné, et mesurons-le par un nombre algébrique positif ou négatif suivant que l'époque correspondante suit ou précède le moment donné, comme au n° 59. Alors on a, en appelant x le nombre qui correspond à Tépoque cherchée :
60 + a: =3 (22 -f x), d'où
Donc l'âge du père est triple de l'âge du fils 3 ans avant l'instant donné, puisque la solution trouvée est négative.
Si l'on ne s'était pas servi des nombres négatifs, il aurait fallu envisager deux cas, en supposant successivement l'époque cherchée postérieure et antérieure au
moment donné; on aurait eu ainsi les deux équations distinctes :
60 + x=3(22+x) et 60 — #=3(22 — x).
La première n'a pas de racine positive, la seconde en a une x=3; c'est donc 3 ans avant le moment donné que l'âge du père est triple de celui du fils.
Problème XX
Un père a 60 ans et son fils en a 22 ; on demande l'époque à laquelle l'âge du père diminué de 46 ans est le double de celui du fils.
Soit, comme précédemment, x le nombre positif ou négatif qui correspond à l'époque cherchée; on a l'équation
•60 + a;-46 = 2(22 + tf), d'où
Celte solution est à rejeter, et le problème est impossible, non pas parce qu'elle est négative, mais parce que 30 ans avant le moment donné, le fils n'existait pas.
Problème XXI
126. — Deux mobiles décrivent une droite XX d'un mouvement uniforme; le premier passe au point A à une époque connue et le second au point A' à une autre époque connue. On demande l'époque de leur rencontre et leur position M à ce moment (fig. 21).
Faisons les mêmes conventions qu'au n° 59 ; la position
Fig. 2U
d'un point sur la droite X'X sera définie par son abscisse comptée à partir d'un point 0, positivement dans le
sens X'X ; le temps sera mesuré par un nombre algébrique à parlir d'une origine arbitraire; la vitesse d'un mobile sera mesurée par un nombre algébrique posilif ou négalif suivant que ce mobile se déplace dans le sens X'X ou dans le sens opposé.
Soient a et a f les segments OA et OA', t et t' les époques des passages des deux mobiles en A et A', v et v f
leurs vitesses, x le segment OM, t l'époque de leur rencontre. On a, dans tous les cas possibles, les équations
x = a'-{- v'(t — *' ), d'où l'on lire :
vt — v't'o — a-\-a'
vv'(l — t' Q ) — av' +a'u
Ces formules déterminent, dans tous les cas possibles, le point M et l'époque du passage commun des mobiles en M.
Si v = v' y les équations du problème sont impossibles, à moins que Ton n'ait a — vt =^a! — v't' . Donc si cette condition n'est pas vérifiée, les deux mobiles ne se rencontrent jamais, ce qui est évident; si elle est vérifiée, ils sont toujours ensemble.
Si les lettres au lieu de représenter des nombres, représentent des paramètres, on est amené à dire que lorsque les vitesses deviennent égales sans que l'on ait a — vt =a' — v't'o, ks mobiles se rencontrent à l'infini au bout d'un temps infini, ce qui signifie, d'une façon précise, que si les quantités variables v et v' tendent à devenir égales, le point de rencontre des mobiles, qui existe, s'éloigne indéfiniment sur X'X, et que l'époque de leur rencontre est elle-même indéfiniment éloignée de celles de leurs passages en A et A', ce qui se comprend de soi.
Si en même temps que v' — v tend vers zéro, il en est
de même de a — vt — (a r — v'l' Q ), le point de rencontre des mobiles ne tend vers aucune position déterminée; l'époque de leur rencontre ne tend de même vers aucune époque déterminée.
Le problème précédent est susceptible de nombreuses applications numériques qu'il sera facile de traiter directement afin de bien se rendre compte de la généralité des formules obtenues.
Problème XXII
Deux mobiles décrivent une circonférence G d'un mouvement uniforme, c'est-à-dire que chacun d'eux se déplace toujours dans le même sens, en parcourant des arcs égaux pendant des temps égaux; à des époques connues ils passent respectivement en A et A'. On demande les époques de leurs rencontres et leurs positions M quand ils se rencontrent (fig. 22).
Choisissons sur la circonférence C un sens de circulation marqué sur la figure par une flèche et que nous appellerons sens positif, le sens négatif étant le sens opposé. Soit aussi un point fixe de la circonférence. Appelons a le nombre arithmétique qui mesure à l'aide d'une unité quelconque la longueur de l'arc OA plus petit qu'une circonférence, parcouru de en A dans le sens positif; la connais- Fig. 22.
sance du nombre a définit complètement le point A quand on connaît le point et le sens positif de circulation. Appelons maintenant abscisses du point A de la circonférence les différents nombres a que l'on obtient en ajoutant à a un multiple quelconque positif, négatif ou nul de la circonférence G. 11 est clair que le point A est déterminé par la connaissance d'une quelconque de ses fibscisses. Il est clair aussi que si l'on va du
point A au point M en marchant toujours dans le même sens et décrivant autant de fois qu'on voudra la circonférence, et si l'on mesure le chemin parcouru par un nombre algébrique /, positif ou négatif suivant que Ton s'est déplacé dans le sens positif ou dans le sens négatif, et dont la valeur absolue est le nombre arithmétique mesurant la longueur du chemin parcouru, la somme a + /> où a est une abscisse de A, sera une abscisse de M.
Ceci posé, comptons le temps comme dans le problème précédent, et appelons t et t' les époques connues des passages des deux mobiles en A et A', points qui seront définis par deux abscisses a et a'.
Appelons aussi v et v' les vitesses des deux mobiles comptées positivement ou négativement suivant qu'ils se déplacent dans le sens positif ou dans le sens négatif.
Si les mobiles se rencontrent en M à l'époque t, il est clair que, comme au n° 59, les nombres a-{-v(t — 1 ) et a'-\-v' (t — t ) seront deux abscisses du point M : par suite ces deux nombres devront différer d'un multiple de G. Les époques des rencontres sont donc déterminées par l'équation
a-\-v{t — 1 ) — a' — v'(t — «' ) = ÉC,
h étant un entier quelconque, positif, négatif ou nul.
Les positions des points de rencontre s'en déduisent immédiatement.
L'équation précédente donne :
, kC + v( — v't' — a-\- a' t = - .
11 y a une infinité d'époques de rencontre, ainsi qu'il était évident a priori, si v est différent de v' : car k peut recevoir toutes les valeurs entières possibles. Toutes ces époques se succèdent à un intervalle constant égal à
Si v est égal à v', les mobiles ne se rencontrent ja-
mais ou sont toujours ensemble suivant que la quantité vt — v't' — a-\-a' n'est pas ou est un multiple de C.
Applications. — Ce problème est susceptible de nombreuses applications. Citons-en une :
Quelles sont les heures où les deux aiguilles d'une montre sont l'une sur Vautre, depuis midi jusqu'à minuit?
Comptons le temps à partir de midi, époque où les deux aiguilles sont Tune sur l'autre; alors on peut faire
Prenons pour unité de longueur une division du cadran; alors C = 60; prenons pour unité de temps Tbeure; alors la vitesse v de la grande aiguille sera 60 r la vitesse v f de la petite aiguille sera 5. On a donc la formule
Donnons à k des valeurs entières telles que t soit inférieur à 12, et positif : on fera successivement
et les heures cherchées sont
11' 11* ii''"' il* H
ou
I 9 3 9 jo
4h ïr 2h iï' 3 Yi' ■■' 9h rr 10h ïï'
qu'il est facile d'exprimer en heures, minutes et secondes.
Remarque. — On traiterait d'une façon analogue la question suivante : A quelles époques les deux mobiles sont-ils à une distance d l'un de l'autre ?
Si l'on ne fixe pas quel est celui des deux mobiles qui est devant l'autre, dans le sens positif, on trouve la
formule
ftC ± d -f vt — v't' — a + a'
Exemple. — A quel moment entre 7 h et 8 h les deux aiguilles d'une montre sont-elles perpendiculaires?
Prenons 7 heures pour origine du temps ; alors, en conservant les mêmes unités que précédemment, on a pour la grande aiguille :
a = 0, t = 0, u = 60, et pour la petite :
d'ailleurs ici
d — io.
Donc les heures de rencontre sont données par la formule
Il faut que t soit inférieur à 1, et par suite k ne peut recevoir que la valeur ; et Ton a les deux valeurs
' 1= fi et
Les heures
cherchées sont
, 4 7 " fi el
Problème XXIII
127. — Etant donné un trapèze ABCD, mener entre les côtés non parallèles une parallèle aux bases qui ait une longueur donnée (fig. 23).
La figure peut offrir quatre dispositions différentes, suivant que la parallèle cherchée occupe Tune ou l'autre des positions E F , E,F lf E 2 F 2 ou E 3 F 3 .
Appelons b la grande base AB, b' la petite base CD, h la hauteur du trapèze, et par le point O, point de rencontre des côtés non parallèles, menons la perpendiculaire aux bases qui coupe AB en P, CD en Q, E F en R , EjF,
en R n etc. Quel que soit l'indice i des lettres E, F, R, on a :
E.Fj AB CD
ORi~~OP"~OQ' d'où l'on tire :
AB ± EjF j AB — CD OPzhORi""OP — OQ'
Ceci posé, soit x le segment PRi compté pOSitive- ^-Ji* 'feras — r-7^3
L — kr — ^i
Fig. 23.
ment dans la direction PO, et soit / la longueur donnée ; pour i = 0, on a l'équation
= — r—> avec 0<x<h:
pour i= 1, on a l'équation
— — = — j- ,avec x<0;
pour i = 2, on a l'équation
— = ~x^ avec h<x <b=b' 9 car0P = â=^' pour i = 3, on a l'équation
— = - /r' avec *>Ï=T
Il faut donc résoudre d'abord l'équalion
une racine positive et inférieure à h de celle équation correspondra à une droite E F ; une racine négative correspondra à une droite EiF, ; une racine comprise entre
hk h et f—Tr correspondra à une droite E 2 F 2 .
Il faudra ensuite résoudre l'équation
et une racine de cette équation correspondra à une droite E3F3, si elle est supérieure à ; ., «
Or, la première équation donne :
valeur toujours inférieure à y , , «
Donc une des solutions E F , E 1 F 1 ,E 2 F 2 existe toujours : la première si / est compris entre b et b' ; la seconde, si / est plus grand que b; la troisième si /est plus petit que b'.
La seconde équation donne ensuite :
valeur toujours supérieure à , ., . Donc la solution E 3 F 3
existe toujours.
En résumé, le problème admet toujours deux solutions : Tune qui correspond à la position E 3 F 3 , et l'autre qui correspond, suivant les cas, à Tune des positions E F ,
EiFtOuE.F,.
Problème XXIV
Sur le prolongement du côté AB d'un triangle rectangle en A, trouver un point M tel que CM soit moyenne proportionnelle entre AM et BM (fig. 24).
La figure est différente suivant que le point cherché occupe une position telle que M ou telle que M t . Dans tous les cas appelons x le segment AM ou AM i compté positivement dans le sens AB. Alors si Ton fait AB = a, AG = 6, on a toujours l'équation
ô* -j-or* = x(x — a) 9
Fig. 24.
car les triangles rectangles CAM et GAM t donnent b* +x s pour valeur de CM* ou GMV et si M est en M , on a :
AM =x, BM =o? — a; si M est en M t , on a :
AM 1 = — x BM t =a — x.
Une solution de l'équation précédente convient au problème si elle est positive et supérieure à a (on a alors une position M ), ou bien si elle est négative (on a alors une position MJ. Or l'équation précédente admet l'unique
solution négative
Donc le problème a une solution et une seule ; le point cherché occupe une position telle que M r
Problème XXV
Sur le côté BG d'un triangle ABC, trouver un point tel que la somme de ses distances aux deux
autres côtés soit égale à une longueur donnée
ito. 25).
La figure est différente suivant que le point cherché
occupe une position telle que M , ou telle que M t , ou telle que M 2 .
Soient BP et CQ les hauteurs issues de B et G ; MiHi, et MiR* les perpendiculaires menées de Mi sur ACet AB.
Dans tous les cas, on a par les triangles semblables en évidence :
^--"^Ma
Fig. 25.
MiHi__CM L MiKi BMi
BP ~ BG ' CQ ~ BG *
Faisons BG = a, EP = h', 00 = 4", et soit / la longueur donnée ; désignons par x le segment BMi compté positivement dans le sens BG.
Pour i = 0, on a l'équation
— (a — x) -f- -— x = l, avec 0<x<a;
pour i=i, on a :
-(« — a?) — — x = l, avec x<0;
pour i = % on a :
— (x — a)-f--— a? = /, avec x>a.
Il faut donc résoudre chacune des équations précé dentés. La première donne
Celte solution convient au problème si la valeur de x est positive et inférieure à a. Supposons h' > h", comme nous pouvons le faire si le triangle n'est pas isocèle : alors cette solution convient si l'on a h' > / > h", et seulement dans ce cas. Si le triangle était isocèle, on aurait h' = h" ; le problème n'aurait pas de solution telle que M , sauf si Ton avait l=h f = h" : alors tout point de la base BG compris entre B et C répondrait à la question; il y aurait indétermination.
La seconde équation donne :
Cette solution convient au problème si la valeur de x est négative, c'est-à-dire si l'on a l> h', et seulement dans ce cas.
Enfin, la troisième équation donne :
cette solution convient au problème si la valeur de x est supérieure à a, ce qui exige l> h".
Si nous résumons cette discussion nous voyons que :
1° Si Ton a h' > A", le problème a deux solutions telles que M t et M 2 , si l'on a / > ti ; il en a deux encore telles que M et M 2 , si l'on a h' > /> h" ; il n'en a aucune si l'on a / < h". On dit alors que h" est le minimum de /, c'est-à-dire la plus petite des valeurs que peut prendre /.
2° Si l'on a h! =h", c'est-à-dire si le triangle est isocèle de sommet A, on a deux solutions telles queM t et M 2 , si l'on a /> h' ; on a une infinité de solutions telles que M , si l'on a l = h' ; enfin, on n'a aucune solution si l'on a / < h'.
Remarque. — Il est trop facile de dire ce qui arrive quand / est égal à l'une des quantités h' ou h!' pour qu'il soit nécessaire d'insister sur ces cas.
ÀNDOYER. — ALGÈBRE. 40
Problèmk XXVI
128. — Etant donnés quatre points A, B, G, D sur une droite XX, trouver un point M sur X'X tel que le
produit des segments MA et MB soit égal au produit
des segments MC et MB (ftg. 26).
Comptons les segments dans le sens X'X à partir d'un
X'O ACMBDX
Fig. 26.
point 0, et soient a, b, c, d, a? les abcisses des' points A, B, C, D, M. Quelle que soit la disposition de la figure, l'énoncé donne l'équation
d'où
ab — cd
Il y a donc un point M répondant à la question.
Sia-j-6 — c — d est nul, sans que ab — cd le soit, il y a impossibilité ; le point M s'éloigne à l'infini si Ton considère a, b, c, d comme des quantités variables et si a -f- b — c — d tend vers zéro.
Si a -f- b — c — delab — cd sont nulles toutes deux, il y a indétermination; tout point M de X'X répond à la question.
Il est facile de voir ce que signifient ces conditions.
Supposons que le point soit en A ; alors a = 0, et ces conditions deviennent b — c — d = avec cd ±=. 0. Donc l'un des nombres c et d doit être nul, c pir exemple, de sorte que G coïncide avec A; alors il reste b — d = t ce qui exprime que D coïncide avec B. Il n'y a donc indétermination que si les points G et D coïncident respectivement avec les points A et B.
Quand il y a impossibilité, on a :
a-\-b — c — d = 0, ou
donc les milieux des segments de droite AB et CD coïncident.
On peut encore supposer que l'un des points donnés, A par exemple, s'éloigne indéfiniment sur X'X; alors x prend la valeur b; donc, dans ce cas, M vient en B.
Si les deux points associés A et B s'éloignent tous deux à l'infini, il en est de même de M. Si deux points non associés, tels que A et C, s'éloignent tous deux à l'infini, M devient indéterminé.
Problême XXVII
Soit un système d'axes de coordonnées OX, OT et deux droites AB, A'B', ne passant pas en O ; on demande de calculer les coordonnées de leur point M d'intersection (fig. 27).
Si Ton appelle a et a', b et b' les segments ÔÂ, OA',
OB, OB', et si x et y sont les coordonnées du point M, on sait, d'après le n° 54, que les inconnues x et y doivent vérifier les deux relations
Ces équations résolues donnent :
gg'fjb' — b) x ~ ab' — a'b '
__ bb\a — g 1 ) , y— ab' — ba' '
Telles sont les formules qui résolvent la question.
Si l'on a ab' — ba f = 0, sans avoir a — a' = et b — b' = 0, le problème est impossible; en effet, on voit tout de suite que les deux droites sont alors parallèles. Si
a, a', b, b' sont des quantités variables, et si ab' — bà tend vers zéro, le point M d'intersection des deux droites s'éloigne indéfiniment, parce que les deux droites tendent à devenir parallèles.
Si l'on a ab' — ba' = 0, avec a — a! = 0, on a aussi b — b' = ; le point M est indéterminé, et, en effet, alors les deux droites Fi s- 27 - données coïncident; x ei y sont
liées par la seule relation
Si a devient infini, la droite AB devient parallèle à OX, et l'on trouve
fl '(y 6)
On raisonnera de même si quelque autre des quantités a', 6, b' devient infinie.
Problème XXVIII
129. — Etant donné un triangle ABC, construire un rectangle PQRS, inscrit ou exinscrit a ce triangle dans l'angle A, c'est-à-dire dont deux sommets P, Q soient sur BC, et les deux autres R et S sur AG et AB, connaissant le périmètre de ce rectangle Iflg. 28).
On peut avoir trois figures différentes suivant que le rectangle occupe une position telle que P QoR So (et alors
il est véritablement inscrit), ou une position telle que PiQ^S, ou P 2 Q 2 R 2 S 2 (et alors il est exinscrit). Soit AH la hauteur du triangle qui rencontre RiSi en Ki.
Fig. 28.
Pour construire la figure, il suffit de connaître AKi. *
Appelons x le segment AKi compté dans le sens AH, a la base BG du triangle, h sa hauteur AH, 2jo le périmètre donné.
Pour l'indice 0, on a :
P S a = h-x, — = r et par suite l'équation du problème est
h — x-\--j-=p, avec < x < h.
Pour l'indice 1 , on a :
et par suite l'équation du problème est
x — h-\- -r- = p, avec x>h.
Pour l'indice 2, on a :
Jt oUa il "~"~ Xy
et par suite l'équation du problème est
ax
x — t = P> aveca?<0.
11 faut résoudre chacune des équations précédentes. La première donne :
Cette solution convient au problème si la valeur de x est positive et inférieure à A. Distinguons alors trois cas :
1° On a a > A; dans ce cas il faut a > p > A.
2° On a a < A; alors il faut a <p < A.
3° On a a = A; alors le problème est impossible sauf si Ton a p = h; dans ce cas, il y a indétermination : toute valeur de x positive et inférieure à A répond à la question.
La seconde équation donne :
Cette solution convient au problème si la valeur de x est supérieure à A, ce qui exige p > a.
La troisième équation donne enfin :
valeur qui convient si elle est négative, ce qui exige p> h.
En résumé nous voyons que :
1° Si l'on a a> k, le problème a deux solutions telles que PiQjRiSj et P 2 Q 2 R 2 S 2 si p est supérieur à a; il a encore deux solutions telles que P Q RoS et P 2 Q 2 ft 2 S2 s * p est compris entre a et A; il n'en a aucune si p est plus petit que A .- A est le minimum de p.
2° Si Ton a a < A, le problème a deux solutions telles que PjQjRjSj et P 2 Q 2 R 2 S 2 si p est supérieur à A; il a encore deux solutions telles que P Q R S et P 1 Q 1 R,S l si/? est compris entre a et A; il n'en a aucune si p est plus petit que a: a est le minimum de p.
3° Si l'on a a = A, le problème a deux solutions telles que P^iRtS, et P 2 2 R 2 S2 s * P est supérieur à a; il en a
une infinité telles que P Q RoS si p est égal à a; il n'en a aucune si p est inférieur à a.
Problème XXIX
Etant donné un triangle ABC, construire un rectangle PQRS, inscrit ou exinscrit à ce triangle dans l'angle A, dont le rapport des dimensions PS et PQ ait une valeur donnée (fig. 28).
La figure peut présenter les mêmes dispositions que dans le problème précédent; gardant donc les mêmes notations et appelant A le rapport donné, on doit avoir l'équation :
PiSi , PiQi ~ *'
Donc pour un rectangle P Q RoSo> on a l'équation :
ax
T qui donne :
celte valeur convient si elle est posilitive et inférieure à A, ce qui a toujours Meu.
Pour un rectangle tel que PjQ^S,, on a l'équation
ax
T qui donne :
k — ak* cette valeur convient si elle est supérieure à h, ce qui
exige h — ak > 0, ou k < -•
Pour un rectangle tel que P 2 Q 2 R 2 S 2 , on a l'équation
qui est la même que la précédente, et qui donne par suite
h — ak 9
celle valeur convient si elle est négative, ce qui exige
En résumé, le problème a toujours deux solutions, lune telle que P QoRoS > l'autre telle que P^RjSj ou
P 2 Q 2 R 2 S 2 suivant que l'on a k < - ou k > -. Si l'on
avait k = -, celte dernière solution disparaîtrait.
Si, en particulier, il faut inscrire ou exinscrire au triangle ABG un carré dans l'angle A, on aA = l; le problème a deux solutions dont l'une disparaît si l'on a
Problème XXX
Étant donné un rectangle ABGD, prendre sur les quatre côtés quatre points P, Q, R, S, tels que les segments AP et GR comptés dans les sens AB et CD, étant égaux entre eux, de même que les segments
AS et GQ comptés dans les sens AD et GB, la figure PQRS soit un rectangle, dont le rapport des dimensions PS et PQ ait une valeur donnée (fig. 29).
En prenant les points P, Q, R, S comme l'indique l'énoncé, la figure peut présenter neuf dispositions différentes reproduites ci-conlre : P Q RoS , PiC^R^, r
Dans tous les cas, la figure PiQjRiSi est un parallélogramme et ne peut être un rectangle que pour i = 0,
i = 3, i = 5, i=l eti = 8. D'ailleurs dans ces cas, pour qu'elle soil un rectangle, il faut et il suffit que les trian-
Ro C
A BP,
Fig. 29.
gles APiSi, BPiOi soient semblables, et Ton a les relations :
PiSi APi ASi
PiOi~BQ — BP/
d'où, en appelant k le rapport donné, les équations
APi=*BQi, ASi = ABPi.
Appelons a et b les dimensions AB et AD du rectangle
donné, x et y les segments ÂPJ, ASi comptés dans les sens AB et AD.
Pour la figure P Q RoS„ on a :
Les mêmes équations conviennent à la figure P 7 Q 7 R 7 S 7
220 LlVni3 II.
avec x < 0, et y > b, et aussi à la figure P 5 Q 5 R 3 S 6 avec x > a et y < 0.
Pour la figure P3Q3R3S3, on a :
2) < , r ( avec ^ , '
Les mêmes équations conviennent à la figure P 8 Q 8 R 8 S 8 avec a? < 0, y < 0.
11 faut résoudre et discuter les deux systèmes de deux équations simultanées (i) et (2).
Le système (1) donne :
k(b — ak) k{a — bk)
Supposons a > b.
On aura une solution PoQoRoSj, si l'on a k < - ou
On aura une solution P 7 Q 7 R 7 S-, si Ton a- < k < 1.
ex
On aura une solution P 5 Q 3 Rr;S 3 , si Ton a i < k < ?•
On a donc toujpurs une de ces trois solutions, et une seule.
Pour A=l, le problème est impossible, sauf si a = ô; alors il est indéterminé : x et y sont liés par Tunique relation x -f- y = a.
Le système (2) donne :
— k (b + ak) —k(a + bk)
On a une solution P3Q3R3S3, si Ton a k > i, et une solution P 8 Q 8 R 8 S 8 , si Ton a k < 1.
On a donc toujours une de ces deux solutions, et une seule.
Pour k — 1, le problème est impossible.
Finalement, on voit que le problème a toujours deux solutions.
Exercices
N. B. — Les exercices proposés au livre V du Cours d'arithmétique devront être résolus par les méthodes de l'algèbre.
1. — Partager le oombre 84 en deux parties telles que le huitième de l'une plus le cinquième de l'autre fasse 50.
2. — Partager 5 397 fr ,45 entre trois personnes, de façon que la première ait 287 francs de plus que la seconde, et que la part de la troisième dépasse de 612 francs la somme des parts des deux autres.
3. — On a acheté trois objets pour 1 895 francs ; le premier vaut les 2/3 du prix du second, qui coûte lui-même autant que les deux premiers. Quel est le prix de chaque objet?
4. — Trouver quatre nombres en proportion, sachant qu'ils dépassent tous d'une même quantité quatre nombres donnés a, b, c, d. Application : a = — 5, b = 40, c — 10, d= 100.
5. — Les âges de deux personnes sont a et b; à quelle époque le rapport de leurs âges est-il un nombre donné A;?
6. — Une personne augmente chaque année sa fortune du quart de sa valeur, et dépense 5000 francs par an; à la fin de la quatrième année, sa fortune est doublée ; quelle était sa valeur primitive ?
7. — A quelles heures les deux aiguilles d'une montre sontelles sur le prolongement l'une de l'autre?
8. — Sur un côté d'un triangle trouver un point dont la différence des distances aux deux autres côtés soit égale à une longueur donnée.
