ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE

§l er . — Résolution de l'équation du second degré

à une inconnue.

130. — L'équation du second degré à une inconnue se présente sous la forme

ax* -f-foe-f-c=0,

a, b, c étant des nombres ou bien des expressions algébriques dépendant des paramètres, suivant que l'équation est numérique ou littérale ; dans tous les cas, le coefficient a n'est pas nul.

Si c est nul sans que b le soit, comme on a :

ax* -J- bx = x {ax -f- b) , l'équation admet les deux racines # = et a? = >

et n'en admet pas d'autres.

Si b est nul sans que c le soit, l'équation peut s'écrire sous la forme

est posili

Si le nombre- est positif, c'est-à-dire si a et c sont de

même signe, l'équation n'a pas de racines, puisque le carré d'un nombre est toujours positif.

Si le nombre - est négatif, c'est-à-dire si a et c sont de

signes contraires, l'équation s'écrit sous la forme

et par suile (103) elle admet les deux racines

Sj~ el yCI.

On écrit, comme au n° 45,

Si b et c sont nuls tous deux, l'équation a Tunique racine x = ; on dit, pour des raisons que nous expliquerons tout à l'heure, qu'elle a une racine double égate à zéro.

131. — Dans le cas général, écrivons d'abord l'équation sous la forme

et remarquons que l'on a l'identité

, , à ( . by 6 2

L'équation devient ainsi, en considérant ses deux premiers termes comme ceux d'un carré,

ou

£\i b* — Aac ^

Cela étant :

ÉQUATIONS ET PROBLÈMES DU SECOND DEGRÉ. 22o

1° Si la quantité b 2 — Aac est négative, la quantité -r-% — est positive, et l'équation n'a évidemment

aucune racine, puisque le carré d'un nombre est toujours positif.

2° Si la quantité b 1 — Aac est positive, on peut écrirel'équation sous la forme

et par suite (103) elle admet les deux solutions

b Vô 2 —Aac b s/b* — Aac

puisqu'on est ramené à la résolution de deux équations du premier degré dont les racines sont en évidence. Oa

écrit :

— b±\fb l — Aac 2a

Quand nous voudrons distinguer les deux racines, nous appellerons x' celle qui correspond au signe — devant le

radical V^* — Aac, et x" celle qui correspond au signe -fdevant ce radical, de sorte que

, b — \/b * — Aac ff —b-\-\Tb 2 —Aac

La racine x' est la plus petite ou la plus grande des

deux racines suivant que a est positif ou négatif.

b 3° Si la quantité b 1 — Aac est nulle, le nombre x -f- ô~

doit être nul, et par suite l'équation a une seule racine :

On dit alors que l'équation a une racine double ou deux racines égales, parce que si a, i, c sont des quantités va-

riables, et si la quantité b 2 — 4actend vers zéro en restant positive, l'équation admet deux racines qui tendent toutes

deux vers la même quanlilé — -» comme le montrent les

formules établies précédemment.

Cette convention nous permettra plus tard de donner plus de généralilé aux énoncés.

En résumé :

1° Si ù* — Aac < 0, l'équation n'a pas de racines;

2° si b 2 — Aac > 0, l'équation a deux racines distinctes ;

3° si b 2 — Aac = 0, l'équation a deux racines confondues.

La quanlilé b 2 — Aac est la quantité sous le radical pour l'équalion ax* -f- bx + c = 0.

On voit aisément que ce que nous venons de dire s'applique aux cas particuliers déjà examinés.

132. — Souvent le coefficient a est égal à 1 ; alors la quantité sous le radical est b 2 — 4c; si elle n'est pas négative, on a :

— bzt^b 2 — Ac

Souvent encore, le coefficient b se présente sous la forme 2b' ; alors la quantité sous le radical est Ab' 2 — Aac ou 4 [b' 2 — ac), de sorte que

\/b* — Aac = 2\/b'* — ac,

quand b' 2 — ac n'est pas négative.

On appelle alors b' 2 — ac la quantité sous le radical, et si cette quanlilé n'est pas négative, la formule de résolution devient :

— é'dH/A' 1 — ac

Si en particulier a = i , on a simplement :

Reprenons la formule générale

— b±\/b 2 — Aac

en multipliant haut et bas par — b zp \fb* — Aac, il vient

(— b ± \/b % — Aac) (- b qp yfy a — Aac)

~ 2a {— bzçijb* — bac)

6 2 — {b m -— Aac)

2a{—bzp{/b* — Aac) 2c

— bzp^b* — Aac En particulier, on a :

— *'+ \/b 2 — Aac ' — b — v/*" — ^ac

Ces formules sont commodes dans certains cas. Exemples. — 1° Résoudre l'équation

La quantité sous le radical, b f * — ac, est 4 — 15; elle est négative ; il n'y a pas de racines.

2° Résoudre l'équation

La quantité sous le radical, 6* — 4ac,esl49+^x5Xl2 ou 289.

L'équation a deux racines distinctes :

* ïô — ' * îô — '

or V / 289=17;donc

3° Résoudre l'équation

La quantité sous le radical, b'* — ac, est 9 + 27 ou 36. On a deux racines :

4° Résoudre l'équation

x* -\-(p -- q)x — pq = 0.

La quantité sous le radical, b % — &ac, est (p — ^) i -\- Apg ou (p -f" ?)' » l'équation a deux racines :

Ces deux racines sont — p et q.

5° Résoudre l'équation

(i+m)x 2 — 2mx-\-{m — 3) = 0.

La quantité sous le radical, £' 2 — «V, est

ou 2m -f- 3.

Si elle est négative, c'est-à-dire si m < — 5, l'équation

n'a pas de racines; si elle est positive, c'est-à-dire si

m > — 5>, l'équation a deux racines données parla formule

si elle est nulle, c'est-à-dire si m = — -, l'équation a

une racine double :

133. — Si l'équation est littérale, les paramètres pourront recevoir des valeurs particulières, telles que quelques-unes des quantités a, b, c, ou bien x et x\ n'aient pas de valeurs numériques directement calculables ; et si lorsque les paramètres

tendent vers ces valeurs particulières, l'équation a toujours deux racines, on pourra encore parler des racines de l'équation, même quand les paramètres reçoivent ces valeurs singulières, en appliquant les conventions faites antérieurement, toujours de la même façon.

Supposons, par exemple, que a, b, c étant des paramètres, b et c aient des valeurs finies non nulles, et que a reçoive la valeur zéro.

Quand a tend vers zéro, b* — kac est une quantité positive évidemment, et l'équation a deux racines.

Distinguons deux cas :

1° b > 0; considérons la racine x ; la formule

, — ô— lA 5 — kac

prend la forme x = — -— pour a = 0, et par suite la racine x'

devient infinie.

Considérons maintenant x" ; la formule

„ — b 4- s/o* — kac

prend la forme x" = -, pour a = 0, et ne nous apprend rien ;

mais on a aussi

— b — \Jb* — kac et par suite, pour a= 0,

2°6<0; cette fois y/ft* — kac prenant la valeur — 5 pour a =0, c'est la racine x" qui devient infinie, tandis que la racine &

devient égale à — t*

Donc, dans tous les cas, l'une des racines devient infinie, tandis que l'autre prend la valeur — -; cette valeur est précisément, comme on devait s'y attendre, la racine do l'équation

bx + c = 0, que l'on obtient en faisant a = dans l'équation générale.

§ 2. — Relations entre les coefficients et les racines d'une équation du second degré.