Si l'équation ax 2 -f- bx -f-c = a deux racines
distinctes ou égales, la somme de ces deux racines est égale
à ,c/ leur produit est égal à - •
En effet, on a :
, — 6 — V^ 5 — Aac „ —b + s/àt—Aac X = Ta ' X = Ta '
d'où en additionnant membre à membre
et en multipliant membre à membre
, „ (-6)»(v/ô t -4ac) 1 c
xx = - - — = - •
Aa* a
135. — Ce théorème est fort important : nous en ferons des applications à chaque instant.
Proposons-nous d'abord la question suivante : A la seule inspection des signes des coefficients a, b, c de V équation du second degré, reconnaître quels sont les signes des deux racines, et quand ces racines sont de signes contraires, quelle est la plus grande en valeur absolue^ en supposant, bien entendu, Vexistence de ces racines.
Si la quantité -est positive, c'est-à-dire si les coefficients extrêmes a et c de l'équation sont de même signe, on calculera la quantité b 1 — Aac afin de savoir si les racines existent; supposant cette quantité non négative, l'équation a deux racines x' et x" dont le produit est la
quantité positive -; donc ces racines sont de même signe. Ce signe sera évidemment celui de leur somme, c'est-
à-dire le signe de , ou le signe contraire de celui de - •
Si la quantité - estnégative, c'est-à-dire siles coefficients
extrêmes a et c sont de signes contraires, il est inutile de calculer la quantité b % — &ac: car le produit ac étant négatif, cette quantité est positive nécessairement. L'équation a donc certainement deux racines x' et x
dont le produit est la quantité négative-; ces racines sont
par suite de signes contraires ; la plus grande en valeur
b absolue a le signe de leur somme •
Exemples. — 1° Soit l'équation
On a b 2 — &ac = — 11 ; l'équation n'a pas de racines. 2° Soit l'équation
ar 2 +5# + 3 = 0.
On a b 2 — Aac = 13 ; l'équation a deux racines de même signe et négatives.
3° L'équation
a de même deux racines positives; car b 2 — Aac = 13,
et- ainsi que - sont des quantités positives.
4° L'équation
a deux racines de signes contraires ; la plus grande en valeur absolue est négative.
5° L'équation
a deux racines de signes contraires; la plus grande en valeur absolue est positive.
6° Etudier les signes des racines de l'équation (1 + m) x* — 2mar+ (m — 3) =
quand m prend toutes les valeurs possibles.
On a d'abord :
b' 2 — ac = 2m + 3,
et les racines n'existent que si Ton a m > — -•
Le produit des racines est — ^jt ; les deux racines seront
de même signe si l'on a :
^pjX), avecm>-^.
TH. — î
L'inégalité , . > ou (m — 3) (m -f- 1) > est vérifiée pour m < — i et m > 3 ; donc les deux racines se-
ront de même signe pour — 5 < m < — 1 , et pour m > 3 ;
elles seront de signes contraires pour — 1 < m < 3.
La somme des racines est j-p — ; cette quantité est
positive pour m < — 1 et m > 0, négative pour — 1 < m < 0. Donc finalement :
pour m < — 5, pas de racines ;
pour — -j < tw < — 1 , deux racines positives ;
pour — I < m < 0, deux racines de signes contraires;
la racine négative est la plus grande en valeur absolue ;
pour < m < 3, deux racines de signes contraires ;
la racine positive est la plus grande en valeur absolue;
pour 3 < m, deux racines positives.
Examinons maintenant les cas particuliers :
pour m = — -, deux racines égales positives ;
pour wî= — 1, une racine infinie et une racine positive ;
pour m = 0, deux racines égales et de signes contraires;
pour m =3, une racine nulle.
Cherchons encore ce que deviennent les racines de l'équation proposée pour m = -f- <x> .
On a :
et par suite, pour w = -f- x, les deux racines deviennent égales à 1 .
136. — Toute expression dépendant des racines x 1 et x", et pouvant s'exprimer à l'aide de x'-\-x" et x'x", s'exprimera aisément à l'aide des coefficients de l'équation.
Ainsi, on a :
x' 3 + x"' = [x' + x"f — Zx'x"(x'-\-x") = — ~ -f 3 ^
b{3ac—b*)
x ,k + x"' = (x ,l + x" 2 Y — 2x' 2 x"* = ( b **-% ac ) 2 ?£!
cr a*
b t > — Aab 2 c + '2a 2 c 2 " â> ;
J, i x J *+x"' b> — Aab 2 c + 2a*c\
x' s" __ s' 1 +#'» __ 6» — 2ac 9 x" x' x'x" ac '
et ainsi de suite.
Remarquons aussi que l'on a :
, Vb 2 — Aac
et que par suite on a par exemple :
X ><* gft = (*" — X') (tf" -f X') = — * ** "" A(ZC
{b* — ac)\/ b* — \ac
, etc.
§3. — Résolution de l'inégalité du second degré. Comparaison d'un nombre aux racines d'une équation du second degré.
137. — Toute inégalité du second degré à une inconnue peut se ramener à la forme
ax* -f- àx + c > ;
cette inégalité devient elle-même en raisonnant comme au n° 131 :
a [[ X + Ta) 4^-J >0 '>
si la quantité b* — 4ac est négative, la quantité entre crochets est toujours positive : donc l'inégalité est vérifiée pour toute valeur de a?, si a est positif; elle ne Test pour aucune valeur de x, si a est négatif.
Si la quantité b 2 — Aac est nulle, l'inégalité est vérifiée
pour toute valeur de x, si a est positif, sauf pour x = :
alors il y a égalité. Si a est négatif, l'inégalité n'est vérifiée pour aucune valeur de x.
Si la quantité b 2 — kac est positive, l'inégalité s'écrit sous la forme
b Vb* — Aac\[ , b , \Zb* — Aac\
ou, en appelant a/ et #" les racines distinctes de l'équation ax*-\-bx-\-c = 0,
Si a est une quantité positive, ceci revient à
d'ailleurs, on a x"> z J , et par suite (111) l'inégalité est vérifiée pour les valeurs de x satisfaisant à l'une des conditions
x>x" ou x<x'.
Si a est une quantité négative, l'inégalité proposée revient à
d'ailleurs, on a x" < x\ et par suite (111) l'inégalité est vérifiée pour les valeurs de x satisfaisant à la condition
De là résultent immédiatement les propositions fondamentales suivantes :
1° Si l'équation ax* + bx + c = n'a pas de racines, le trinôme du second degré ax* -f- bx -|- c a toujours le signe de a, quelle que soit la valeur attribuée à x ;
2° Si l'équation ax* +bx + c = a une racine double, le trinôme ax* +bx-(-c a toujours le signe de a, quelle
que soit la valeur attribuée à x, sauf pour x = — —-: le * 2a
trinôme est alors nul.
3° Si l 1 équation ax* -|-kx4- c= = : a deux racines distinctes, le trinôme ax 1 -f-bx + c a le signe de a quand x est supérieur à la plus grande de ces racines ou inférieur à la plus petite; il a le signe contraire de celui de a
ANDOYBR. — ALGÈBRE. Il
quand x est compris entre les deux racines; il est nul quand x est égal à une de ces racines.
Exemples. — 1° Le trinôme x*-]-x-\-i est toujours positif, car l'équation #* + # + 1 =0 n'a pas de racines.
2° Le trinôme — 8x*-\-\7x — 9 est positif pour
1 < x < -, et négatif pour x < 1 et x > -, parce que
Téquation — &x*-]-i7x — 9—0 a pour racines 1 el 5 -
3° Montrer que x, y, z étant des nombres différents, la quantité
x * "h y* "h z * ~~ y z — zx — x y
est toujours positive.
Considérons cette quantité comme un trinôme du second degré en x :
* , —(y+ 2 )tf+^/ , — */*+**•
La quantité sous le radical b % — Aac est ici
iy+z)*—*(y*— yz+*%
ou
-3j/« — 3z 2 + 6yz, ou encore
c'est donc une quantité négative, et par suite le trinôme a toujours le signe du coefficient de x*, c'est-à-dire le signe +.
138. — Appliquons ce qui précède à résoudre la question suivante :
Comparer un nombre m aux racines d'une équation ax* -+" bx -f- c = 0, sans résoudre cette équation; on suppose bien entendu l'existence de ces racines.
Substituons m dans le premier membre de l'équation donnée, à la place de x, c'est-à-dire calculons la quantité
M = am 2 -f- bm -)- c.
4° Si cette quantité est de signe contraire à celui de a,
c'est que l'équation donnée a des racines distinctes, et que m est compris entre ces racines; en effet, dans tout autre cas, pour #=ra, le trinôme aurait le signe de a.
2° Si cette quantité M a même signe que a, et si l'équation a des racines, il est clair que m est ou bien plus petit que la plus petite racine, ou bien plus grand que la plus grande racine.
Pour distinguer entre ces deux cas, on remarquera que si m est plus petit que la plus petite racine, il est aussi plus petit que la plus grande; et par suite plus petit que la demi-somme des deux racines ; car la demisomme de deux nombres est toujours plus grande que le plus petit de ces nombres; de même si m est plus grand que la plus grande racine, il est aussi plus grand que la plus petite, et par suite plus grand que la demi-somme des deux racines.
Il suffira donc de comparer m à la demi- somme — — des racines : selon que m sera inférieur ou supérieur à — —-, le nombre sera inférieur à la plus petite racine
ou supérieur à la plus grande racine.
Ces règles sont de la plus haute importance : ce sont elles seules qui servent à faire la discussion des problèmes du second degré, comme nous le verrons plus loin.
Exemples. — 1° Comparer le nombre 3 aux racines de l'équation
Le nombre 3 substitué à x dans le premier membre donne le résultat 4. D'ailleurs l'équation a deux racines, car la quantité sous le radical est 17. Enfin 3 est supé-
rieur à - demi-somme des racines ; donc 3 est supérieur 2 ' r
à la plus grande racine.
2° Comparer 3 aux racines de l'équation
2x 8 — 15x-fl = 0.
Le résultat de substitution de 3 est —26; donc l'équation a deux racines qui comprennent entre elles le nombre 3.
