PROGRESSIONS

§ 1 er . — Progressions arithmétiques.

148. — Une progression arithmétique est une suite de nombres tels que la différence entre l'un de ces nombres et celui qui le précède soit égale à un nombre constant, appelé raison de la progression.

Si a, b, c, d,... h, k y /,

sont les termes successifs d'une progression arithmétique de raison r, on a :

La progression est dite croissante ou décroissante suivant que la raison r est positive ou négative.

Résolvons d'abord la question suivante :

Connaissant le premier terme a d'une progression arithmétique de raison r, calculer le terme 1 delà progression, dont le rang est n.

Si a, b, c, ... h, k, l sont les termes de la progression, on a :

et par suite on voit qu'un tei^me quelconque de la progression est égal au premier terme augmenté du produit de la raison par le nombre des termes qui précèdent le terme considéré.

Pour démontrer rigoureusement cette proposition, remarquons qu'elle est vraie pour b, c, d, ... d'après les égalités précédentes ; supposons-la vraie pour le terme de rang p; la valeur de ce terme sera a -j- {p — 1) r; le terme suivant, derang/?-|-i, seraégalàa-f"(P — l)r-{-r, ou a -\-pr; donc la loi est générale.

Le terme / de rang n a par suite pour valeur

Exemple. — Dans la progression de raison 5, et de premier terme 4, quel est le dixième terme?

On a ici :

Plus généralement, la formule

permettra de calculer l'une des quatre quantités a, /, n, r, connaissant les trois autres.

Exemple. — Calculer la raison d'une progression arithmétique de 40 termes dont le premier est 49 et le dernier 4.

On a en général :

et ici

Remarque. — Dans une progression arithmétique indéfiniment prolongée, les termes croissent au delà de toute limite en valeur absolue.

Supposons que a soit le premier terme de la progression; le terme de rang n est a + {n — 1) r; il est plus grand en valeur absolue qu'un nombre positif A donné à

l'avance si le nombre n — 1 est supérieur à la valeur