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absolue de "*" , suivant que la progression est crois-
santé ou décroissante, ce qui peut toujours être réalisé.
149. — Insérer n moyens arithmétiques entre deux nombres donnés a et b, c'est trouver n nombres x x , x 2 , . . x H tels que la suite a, x t . x 2 , ... x ni b soit une progression arithmétique.
Si r est la raison de celte progression, on a :
b = a-{-(n-\-i)r, et par suite
d'où l'on déduit en général :
x =a + pr = a+t^——L.
Exemple. — Insérer 6 moyens arithmétiques entre
«et ?;•
On a ici :
et
par
suite
Xa ■
Remarque. — Si, entre deux termes consécutifs quelconques d'une progression arithmétique, on insère un même nombre n de moyens arithmétiques, on forme une seule et même progression arithmétique.
Soit a, b, c, d, ... la progression donnée de raison r; puisque les différences b — a,c — b, d — c, ... sont toutes égales à r, les différentes progressions partielles que Ton forme en insérant n moyens arithmétiques entre a et b,
entre b et c, entre cet d, etc., ont toutes pour raison , . ,
donc, en les écrivant les unes à la suite des autres, on forme une seule et même progression dont la raison
est — r-rn-\-\
Exemple. — Soit la- progression
En insérant 2 moyens entre deux termes consécutifs, on forme la progression
5, 6 J t 7 |, 9, 10 g, 11 1 13, 14 g, !tt|, 17, 18 g, 19 ?, 21 .
150. — Trouver la somme des termes d'une progression arithmétique de n termes et de raison r :
Soit f\e terme qui en a p avant lui, et /' le terme qui en a p après lui, c'est-à-dire que /et f sont deux termes équidistants des extrêmes.
On a d'abord :
f=a+pr;
ensuite, dans la progression renversée
i, /f, flf ... c, 0, #,
de raison — r, le terme /* en a p avant lui, et par suite on a :
f = l—pr; donc :
c'est-à-dire que la somme de deux termes équidistants des extrêmes est constante^ et égale à a -Y /.
Ceci posé, soit
on a aussi, en renversant : <
S=/-fA-fA-f...-fc + 6 + a,
ANDOYER. — ALGÈBRE. 4 3
et en additionnant
V&={a + tl + {b + k) + {c + h) + ... + {h+c) ' + (* + ») + ('+«);
chacune des sommes a-\-l, b-\-k, c -f-A,... A-f-c, A-|- b, /-f- a , en nombre égal an, a pour valeur a -f- h d'après ce que nous venons de dire ; on a donc :
2S=n(a + /), ou
ou encore en remplaçant /par sa valeur a-\-(n — 1) r,
, nfn — 1) S = an + -^2 — ; r.
Exemples. — 1° Calculer la somme des n premiers nombres entiers.
On a a = 1, /= n, et par suite
2° Calculer la somme des n premiers nombres impairs. On a a = i,r=2, et par suite
C'est ainsi que
Remarque. — Les formules
permettent de calculer deux des cinq quantités a, /, n, r, S, connaissant les trois autres. On a ainsi dix problèmes différents à résoudre; ces problèmes sont du premier degré, sauf si Ton prend pour inconnues a et n ou /et n; dans ces cas ils sont du second degré.
§ 2. — Progressions géométriques.
