Une progression géométrique est une suite de
nombres tels que le rapport deTun de ces nombres à celui
qui le précède soit égal à un nombre constant appelé
raison de la progression.
Si
a, b, c y d } ... hy k, /,
sont les termes successifs d'une progression géométrique de raison g, on a :
La progression est dite croissante ou décroissante suivant que la raison g est supérieure ou inférieure à 1 en valeur absolue. Quand la raison g est négative, les termes de la progression sont alternativement positifs et négatifs ; dans le cas contraire, ils sont tous de même signe ; dans tous les cas, ils croissent ou décroissent en valeur absolue, suivant que la progression est croissante ou décroissante.
Résolvons d'abord la question suivante :
Connaissant le premier terme d'une progression géométrigue de raison q, calculer le terme! de la progression, dont le rang est n.
Si a, b, c y ... hy k, l sont les différents termes de la progression, on a :
b = ag>
c = bg = ag*y
d=cg = ag*y
et parsuite on voit, comme au n° 148, qu'un terme guelcongue de la progression est égal au premier terme multiplié par une puissance de la raison dont P exposant est égal au nombre des termes gui précèdent le terme considéré.
Donc, en général, on a :
l = aq n ~*.
Exemple. — Dans la progression de raison 2 et de premier terme 7, quel est le dixième terme ?
On a: / = 7x2» = 3584.
Connaissant /, q et w, on aura a par la formule
gH-l
Connaissant /, a et m, on aura q par la formule
n ~Tl 11
q= i /-, si n est pair, et par la formule q = ±: 1 / -,
si n est impair.
Connaissant /, a, q, on aura n en cherchant quelle est
la puissance de q égale à -•
152. — On sait que si a et b sont deux nombres positifs, on a :
[a + b)*> a* -\-na H ~ l b;
ceci résulte de ce que dans le développement de la puissance n mt du binôme a -f-6, tous les termes sont affectés du signe -|-, et que les deux premiers termes de ce développement sont a n et na n ~ x b (74).
Alors, si s est un nombre positif, on a :
(l«f-s) n >14-ns,
et il en résulte que les puissances successives d'un nombre i -f- s supérieur à 1 augmentent au delà de toute limite; car, si A est un nombre positif aussi grand qu'on le veul, pour avoir
il suffit d'avoir
i-f-ws>A, ou
fl en résulte que les puissances successives d'un nombre positif inférieur à 1 tendent vers zéro; car, si t est ce nombre, on a :
et le nombre t étant supérieur à 1 , 1 y 1 augmente au delà
de toute limite, et son inverse tend vers zéro, quand n augmente indéfiniment.
Nous en concluons que :
i° Dans une progression géométrique croissante indéfiniment prolongée, les termes croissent au delà de toute limite en valeur absolue,
2° Dans une progression géométrique décroissante indéfiniment prolongée, les termes tendent vers zéro.
En effet, le terme de rang n est
aq y
en appelant a le premier terme et q la raison ; donc, si q est supérieur à 1 en valeur absolue, q n - l et par suite aq 11 ~ \ augmente en valeur absolue au delà de toute limite en même temps que n; si q est inférieur à 1 en valeur absolue, q n " i et par suite aq n ~ i tend vers zéro quand n augmente indéfiniment.
153. — Insérer n moyens géométriques entre deux nombres donnés a et b, c'est trouver n nombres x i , x 2J . . . x n tels que la suite a, #,, a? 2 , ... x m b soit une progression géométrique.
Si q est la raison de cette progression, on a :
b = aq n + \
et par suite, si n est pair,
et, si n est impair et - positif,
d'où les valeurs de x x , x 21 ...x n se déduisenl aisément. En particulier, pour insérer un moyen géométrique entre a et b, on a :
Remarque. — On verra comme au n° 149 que, si entre deux termes consécutifs quelconques d'une progression géométrique on insère un même nombre n de moyens géométriques, on forme une seule et même progression géométrique,
154. — Trouver le produit des termes d'une progression géométrique de n termes et de raison q.
Soit /"le terme qui en & p avant lui, et f le terme qui en a p après lui, c'est-à-dire que f et /' sont deux termes équidistants des extrêmes dans la progression
On a d'abord :
f=aqv;
ensuite dans la progression renversée, de raison -, le
terme f en a p avant lui, et par suite on a :
donc
fr = al,
c'est-à-dire que le produit de deux ternes équidistants des extrêmes est constant, et égal à al.
Ceci posé, soit
J? = abc... hkl; on a aussi :
V = lkh... eba,
et par suite, en multipliant,
P* = (a/)(Wfc)(dl)... (hc)(kb)(la).
Chacun des produits a/, bk, ch t ... hc, kb, la en nombre
PROGRESSIONS ET LOGARITHMES. â£0
égal an, a pour valeur al d'après ce qui précède ; donc
p* = (a/)«; d'ailleurs
l = aq n ~\ et par suite
P 1 = (a*q il - *)" = a* n q n ( ,l - 1 \ d'où, n(n — i) élant un nombre pair,
l'examen des divers cas possibles montre que Ton doit toujours prendre le signe +, et écrire
On arrive encore à cette formule en remarquant que
P = (a)(a9)(a ? «)...(a ? w - 1 ), d'où
ou, puisque
1+2+3 + ... (n-l)=llîiZZll,
155. — Trouver la somme des termes d'une progression géométrique de n termes et de raison q
W, Oy Cy»,% fi y Kf Cm
Soit
S= a + ft + c + ... + k + k+l; on a:
S q = a q -J- b q -|- c q -(- . . . + hq + k q -(- lq »
ou, puisque
b = aq, c = àq,,..
290 LIVRK IV.
donc, en retranchant membre à membre, il vient :
d'où
Ig — a y — 1
ou encore, en remplaçant / par aq* ~ ! ,
On arrive encore à cette formule en remarquant que
S=a + fl 9'-|- a ? , -|"--- + a ? n "" 1 = a(4+y + y 1 + ...+ç»- I ) f
et comme
Exemple. — Trouver la somme des termes d'une progression géométrique de 40 termes, dont le premier terme est 5, et dont la raison est 2.
On a: S = 5^-£ = ^==5xl023 = 5445.
Remarque. — Supposons la progression décroissante; alors on peut écrire :
Supposons maintenant que n augmente indéfiniment ;
aq n alors q n tend vers zéro (152) et il en est de même de . ;
