INTÉRÊTS COMPOSÉS. — ANNUITÉS
§ 1 er . — Intérêts composés.
177. — Un capital a est dit placé à intérêts composés, quand au bout de chaque période de lemps de durée convenue, ordinairement une année, l'intérêt du capital s'ajoute à ce capital pour devenir lui-même productif d'intérêts.
Si r est le taux de l'intérêt, c'est-à-dire l'intérêt de 1 franc pendant une période de temps, la valeur acquise du capital au bout d'une période est a, = a(l -f- r) ; la valeur acquise au bout de la seconde période est a % = a t (1 -}- r) = a(l -j-r) 2 ; et par suite la valeur acquise A par le capital a au bout de n périodes est a(i -\- r) n .
Les problèmes sur les intérêts composés sont tous résolus par la formule
A = a(l-fr)\
Si le capital reste placé après la n me période pendant une fraction de période marquée par le nombre * plus petit que 1, sa valeur devient A(l + rt) ou
A' = a(i+r) n (l + rt).
178. — - Les problèmes d'intérêts composés se résolvent ordinairement par logarithmes à l'aide de la formule
log A = log a-\-n log (1 + r )>
ou de la formule
log A' = log a -f n log (1-fr) -f log (i -f rt),
où n est entier, et t un nombre inférieur à 1.
Comme le logarithme de i-\-r figure dans ces formules multiplié par un nombre n qui peut êlre grand, il est bon de connaître le logarithme de \ -f r avec plus de chiffres que Ton ne doit en garder, afin d'éviter toute erreur : aussi trouvera-t-on dans la Table IV de la fin du volume les valeurs de log {l-\-r) avec six décimales, pour les diverses valeurs de r depuis jusqu'à 0,08 de 25 dixmillièmes en 25 dix-millièmes.
Nous allons montrer sur des exemples comment se résolvent les divers problèmes d'intérêts composés que l'on rencontre.
Problème 1
Quelle est la valeur acquise au bout de 25 ans par un capital de 1 200 francs placé à 3 % Tan, les intérêts étant capitalisés à la fin de chaque année?
Ici a = 1200, w = 25, l+r=l,03;
par suite
log A = log 1 200 + 25 log ! ,03,
d'où le calcul
log 1,03 = 0,012837
log (l+r) u = 0,3209
log a =3,0792
log A = 3, 4001 A = 2512 fr .
Problème II
Quelle somme faut-il placer à intérêts composés, au taux de 3 1/2 %> Tan, pour retirer 10000 francs au bout de 20 ans et 1 mois, les intérêts étant capitalisés tous les six mois ?
par suite
log a=log A' — 401og 1,0175 — log 1,0029
log 1,0175 = 0,007534, 40 log 1,0175 = 0,3014; lo£ 1,0029 -=0,00 12, d'où
log A' == 4,0000
colog(i+r) n = ï,6986 colog (1 -f rt) = 1,9988
log a = 3, 6974 a = 4982 fr .
Problème 1ÏI
Pendant combien de temps faut-il placer à intérêts composés au taux de 5 °/ Tan un capital de 5000 francs pour qu'il acquière la valeur 9000 fr., les intérêts étant capitalisés tous les ans?
On a :
log A' — log a log (1 -(- rt)
n ~ log(i + r) log (1 + r) '
Comme on a 1 -f- rt < 1 -j- r 9 on voit que n est la partie
log A' — log a .
entière du quotient — j — . . . , . Ici on a :
logA' = 3,9542 log (1 +r)=0,0212; log a = 3,6990 log A' — log a = 0,2552.
Par suite on trouve n = 12.
Ensuite, on a :
log (1 -J- rt) = log A' -r- log a — n log (1 + 0»
et comme log (1
n log (l+r)= 0,2543,
il vient log (1 -f rt) = 0,0009 1 -f r* = 1 ,002,
doù £ = ^ = 14'. ..
Le temps est 12 ans 14 j ...
Problème JV
Trouver le taux de l'intérêt, sachant que en 20 ans une somme de 1 000 francs est devenue 3 650 francs, les intérêts étant capitalisés tous les ans?
On a :
î™ ta ^ \ log A - log g log (1 + r) =
log A = 3,5623 log g = 3,0000
log A — a = 0,5623 n =-20 log (1 -f r) = 0,0284 .
Le taux est 6,7 °/ .
Problème V
Trouver le taux de l'intérêt, sachant que en 20 ans et 4 mois une somme de 1000 francs est devenue 3650 francs, les intérêts étant capitalisés tous les ans?
Ici, on a :
, x log A' - log a log (1 + rt) log (1 4-r) = •
Le second lernie du second membre est petit; si nous n'en tenons pas comple, nous trouvons la valeur approchée de l-)-/* comme plus haut, 1,067; alors, puisque
/ = - on a la valeur approchée de l-\-rt> 1,022, d'où
log (1 -f rt) =z 0,0094, °^ * ~*~ 7t = 0,0005, et par suite
la nouvelle valeur approchée de log (1 + 0» 0,0276, d'où 1 -j-r = 1,066; donc létaux cherché est 6,6 %• Le calcul n'a évidemment pas besoin d'être recommencé de nouveau.
Remarque. — Les formules de la théorie des intérêts
composés s'appliquent encore à tout problème analogue ,
tel que celui-ci par exemple :
La population d'un pays s'accroît de jt: de sœ valeur
tous les 5 ans; quelle sera cette population dans 35 ans?
§ 2. — Annuités.
179. — Une annuité est une somme fixe, payée.soit au commencement de chaque période de temps, pour amasser un capital; soit à la fin de chaque période pour amortir une dette.
Problème I
Au commencement de chaque période, on verse l'annuité a; quel est le capital A formé au moment du n me versement, l'intérêt de 1 franc pour une période étant r, les intérêts étant capitalisés à la fin de chaque période?
Le capital A est la somme des valeurs acquises par les diverses annuités au commencement de la n me période ; la première acquiert ainsi la valeur a{\ -\-r) n -\ la seconde acquiert la valeur fl(l+* , ) n ~ î >--- ^ a dernière qui vient d'être versée a la valeur a. Donc
A^i+r^ + atl+r)' 1 - 2 -^...-}- a {i + r) + a — a [\ + (1 + r) + (1 + r) 2 + ... + (1 + r)»- 2
la quantité entre crochets est la somme des n termes d'une progression géométrique de raison i-\-r et de premier
(I 4- ?•)'» — 1 terme 1 ; donc cette somme est égale à f , et
par suile on a la formule
Applications. — 1° On donne a = 1000 fp , n = 20, r = 0,05. Calculer A.
On a :
log(l+r) = 0,021 189 log (1 + r) n = 0,4238 (1 + r) n = 2,65-4
(1-fr)»- 1 = 1,654, et par suite
2° On donne A = 20000, n = 100, r=0,05; calculer a. On a :
Ar
ici log (l + r) = 0,021189
log (1 + r) n = 2,1189 (1 + r) n = 431,5,
et par suite
tooo
3° On donne A=20000, a=iOO, >-=0,05; calculer n.
d'où
log(l+r) '
si ce quotient n'est pas entier, mais compris entre deux entiers consécutifs n' et n' + 1» cela veut dire que n' annuités égales à a forment un capital inférieur à A, mais que n' -\- 1 annuités égales à a forment un capital supérieur à A.
Ici ^ + 1=11;
log 11 =1,0414;
log (l+r) = 0,0212;
on trouve n'=49.
io.
4° On donne A = 20000, a =100, n = 50; calculer r.
On a:
({JL r )n 1
on remarque que- — ■ — augmente évidemment en
même temps que r; alors on essayera pour r diverses valeurs, et on arrivera à comprendre r entre deux valeurs aussi rapprochées Tune de l'autre qu'on voudra.
Ici on a - = 200. Essayons r=0,05. On trouve :
donc cette valeur de r est trop for le.
Essayons r= 0,045 ; on a :
log 1,045 = 0,019116 et par suite
donc cette valeur de r est trop faible.
Essayons r= 0,0475; on a :
log 1,0475=0,020154, et par suite
cette valeur est encore trop faible.
Donc le taux est compris entre 0,0475 et 0,05 : en continuant de la môme façon, on le trouverait plus exactement.
Problème II
180. — On emprunte une somme A; on veut éteindre cette dette en payant l'annuité a & la fin de chaque période, la première annuité étant payée & la fin de
la première période comptée à partir de la date de l'emprunt ; on paye n annuités ; l'intérêt de 1 franc pour une période est r, et les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque période. Quelle est la relation entre A, a, r, et n?
Au bout de n périodes, la somme empruntée A vaut A (i-\-r) n ; d'ailleurs à ce même moment le capital formé par les n annuités est, d'après le numéro précédent,
a - : on a donc la relation
Cette formule générale permettra de résoudre les mêmes problèmes que précédemment.
Applications :
1° On donne a = 1 000, n = 20, r = 0,05. Calculer A.
Onalog(l+r) = 0,021189
log (1 + r) n = 0,4238 ; (1 + r) n — 1 = 1 ,654,
d'où le calcul
log a = 3,0000
log (l + r)»— 1=0,2185
colog r = 1,3010
colog (1 + r) n = 1,5762
log A = 4,0957 A = 12460 fr .
2° On donne A = 10000, n = 20, r = 0,05. Calculer a. On a ici :
log A = 4,0000 log (l+r) n = 0,4238
log r = 2,6990
colog ((1 + r) n — l) = 1,7815
log a = 2,9043 a = 802 fr ,20.
3° On donne A = 10000, a = 1000, r=0,05. Calculer n.
On a:
(a — kr)(i-\-r) n = a;
il faut donc d'abord avoir a — Ar > 0; alors il vient :
log (a — Àr)-fttlog (l-}-r)=l 3 a, d'où
log a — log {a — Ar)
log (1 + r)
Ici on trouve Ar = 500,
a — Ar = 500;
log a — log (a — Ar) = 0,3010 ;
log(l-fr)=0,0212;
et par suite n est compris enlre 14 et 15.
4° On donne A = 10000, a = 1000,n = 15. Calculer r.
et le second membre diminue évidemment quand r augmente, d'après la nature de la question, car, si le taux augmente, l'annuité augmente, A et n restant fixes.
On essaiera donc diverses valeurs pour r, et on arrivera h comprendre r entre deux valeurs aussi rapprochées l'une de l'autre qu'on voudra.
Ici- = 10.
Essayons r = 0,05; on trouve — J. / , n — = 10,3...;
donc 0,05 est trop faible.
Essayons r = 0,0525; on trouve pour valeur de
— 71 — : — rr-, 10,2... ; donc cette valeur de r est encore
trop faible.
Pour r=0,0575, on trouve v ;. / . =9,8...;
donc cette valeur de r est trop forte.
Enfin, pourr=0,055, on trouve ,. ■ , w =10,03...;
donc r est compris enlre 0,055 et 0,0575, et très voisin de la première valeur.
Exercices
1. — Une personne en mourant laisse 5 300 francs qui ne doivent être partagés entre les héritiers que dans 25 ans; quelle sera la somme à partager si les intérêts sont capitalisés tous les ans au taux do 3 °/ Tan?
2. — Combien de temps un capital doit-il être placé à intérêts composés au taux de 5 °/ Tan pour acquérir une valeur double?
