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i : il

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Si l'on considère le second membre de celle relation, on voil que les termes indépendants de h forment le polynôme proposé luim-ême, comme cela doit être, puisque, pour h^=zo, on doit retrouver F(a7).

Quant au coefficient de la première puissance de h, c'est ce qu'on appelle le polynôme déràé ou [adérivée du polynôme proposé. On représente la dérivée du polynôme F{a;) à l'aide de la notation ¥'{x).

Le polynôme

se déduit du polynôme V{jc) suiviml une loi très simple : il suffit, pour l'obtenir, de multiplier chaque terme de ce polynôme par l'exposant de x dans ce terme, en diminuant en même temps V exposant de x d'une unité.

Le premier terme de F' (a?) est ainsi mX^x"^-^ et le dernier A,„i, car le dernier terme A,„ de F (:r) doit être regardé comme contenant x°.

En examinant les coefficients de ? ^> ■••, on voil

facilement que chacun d'eux se déduit du précédent suivant

la règle qu'on vient d'énoncer. Il en résulte que le coefficient

de — est la dérivée de F'(^) ou ce qu'on appelle la dérivée 1 .2

seconde de F(^). Cette seconde dérivée est représentée par

la notation Y''ix). De même, le coefficient de t, est la

dérivée de F"(^) ou la dérivée seconde de F'(^) ou la dérivée

troisième de F(.r), de sorte que sa notation est Y"'{x). On

continuera de la même manière, jusqu'aux derniers termes

du secontl membre de la relation que nous étudions.

Il faut observer, à ce sujet, que, si l'on applique la règle

aux deux derniers coefficients (seuls représentés ci-dessous),

au lieu de les écrire directement d'après la formule du

binôme (235), comme nous l'avons fait, ces coefficients, qui

sont ceux de A'"-' et de A'", prendront la forme

m {m — i){m — 2). . .2.AfjX ^{m — i){m — 2){m — 3).. .\ .Al

et

m{m — i)(wz — 2;. . .2. 1 .Ao,

ALGÈBIIE SUPÉPiIEURE. 2'j'Ô

au lieu des expressions indiquées

r/iAo^ + Al et Ao-

Pour appliquer partout la même notation, nous écrirons donc les deux derniers termes du développement comme il suil, en désignant par F('"-*H"*) et par F('«)(^) la (m — O'^"^^ et la m'*™" dérivée du polynôme F(x) :

-fF('"'(-^')