il h

L'accroissement pris pai' le iiolyiwine ¥ {x), lorsque la variable .1- subit elle-même l'accroissement ou la variation positive ou négative h, a donc pour expression

-hF"'"(^)

325. Il est irnporliint de remarquer que, d'une manière générale, lorsqu'on prend les dérivées successives d'un polynôme F (x), le degré de chaque dérivée est moindre d'une unité.

Ainsi, le polynôme proposé élant du degré m, sa dérivée première est du degré m — i, sa dérivée deuxième du degré

De C. — Cours. III. i8*

m — 2, sa dérivée troisième du degré m — 3, etc., sa /?i'ème dérivée du degré m — /n ou zéro.

Cette m^^'"^ dérivée ne renferme donc plus ce, elle se réduit à une constante, et les dérivées suivantes sont nulles ou n'existent pas.

A chaque nouvelle dérivée, il entre un coefficient de moins, parmi les coefficients les plus éloignés du polynôme donné, dans l'expression de la dérivée, et la /n''^™« ou dernière dérivée ne contient plus que le coelficient Ao du premier terme du |)olynôme supposé ordonné suivant les puissances décroissantes de la variable x.

Prenons, par exemple,

[Ao:

Y {x)=:.ix'^ — 7^^-T- bx'^-r- ox — i;

il viendra (32i)

F' {x)=z Sx^ — 21X-+ lox -Y-B,

F" {x)=:24X- — ^IX +10,

F'" {x)—^Sx —42,

326. Nous terminerons par une remarque qui nous sera utile plus tard.

Dans la formule (i) du n° 324, permutons x et h, ce qui ne modifiera pas l'expression du premier membre; nous aurons évidemment

F(.z--t-/O = F(/^)-hF'(/0 Y +F"(/0-^ (3) \ H-F"'(//) -^. +...

Ce nouveau développement permet de calculer i)lus rapidement le résultat de la substitution de x -{- h h la place de x dans le polynôme Y{x).

Cherchons, par exemple, ce que devient le polynôme cidessus (325), 2x*—']x^-^ox--i-3x — i, lorsqu'on y remplace X par X -i- S.

ALGEBRE SUPERIEURE. 2^D

Il suffit, d'après la formule (3), de former les différentes dérivées de ce polynôme et d'y faire a; = 3. On a ainsi, d'après les résultats précédents (325),

F'(3) = 6o, F"(3) = xoo, F"'(3) = io2, F^(3) = 48.

On a d'ailleurs

On peut donc écrire, en renversant l'ordre des termes el en tenant compte des dénominateurs,

V[jc + 3)=: 2 j;*-H 17.27^+ So^^H- 60a: -h 26.

Cas de deux variables.

327. Nous devons d'abord donner quelques indications préliminaires.

Considérons un polynôme entier par rapport à x et à y, en désignant ainsi deux variables indépendantes ou deux quantités qui varient d'une manière arbitraire et indépendamment l'une de l'autre.

Ce polynôme entier sera alors une fonction de x et de y, et nous le représenterons par ^{x,y).

On peut, dans cette fonction, regarder/ comme constante, et prendre le polynôme dérivé ou la dérivée de la fonction par rapport à la variable x (32'i-). On obtient alors ce qu'on appelle la dérivée partielle de la fonction par rapport à x.

De même, si l'on regarde au contraire x comme constante, et si l'on prend le polynôme dérivé ou la dérivée de la fonction par rapport à la variable y, on obtient ce qu'on appelle la dérivée partielle de la fonction par rapport à y.

On représente ces deux dérivées partiolic^, qui sont des dérivées /->/"e/wie/'e^ ou des dérivées du premier ordre, par les notations

Fu: (*•,/) et Y'y{x,y)

ou, plus simplement, par les notations

f;, et f;..

L'accent indique l'ordre de la dérivée partielle et, l 'indice, la variable indépendante par rapport à laquelle on a pris cette dérivée partielle.

2j6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

On peut former également les dérivées partielles des premières dérivées partielles obtenues, qui sont elles-mêmes, en général, des fonctions de x et de y. On trouve ainsi des dérivées partielles qui sont des dérivées secondes ou des dérivées partielles du second ordre de F(.r, t).

Comme les deux dérivées successives peuvent être prises, soit deux fois par rapport à œ, soit une fois par rapport à x et une lois par rapport à y, soit deux fois par rapport à y, on a, de cette manière, trois dérivées partielles du second ordre représentées par les notations

OU par les notations

On voit que l'ordre de dérivation correspond à l'accentuation de la lettre F et que l'indice de cette lettre indique les variables par rapport auxquelles les dérivées partielles successives ont été prises. L'indice x^ ou l'indice y^ remplace simplement, par convention, l'indice x,x ou l'indice v, y.

Si l'on forme encore les dérivées partielles des dérivées partielles du second ordre, on trouve des dérivées partielles du troisième ordre de F(.c, j). Les trois dérivées partielles successives pouvant être prises, soit trois fois par rapport à x, I soit deux fois par rapport à j; et une fois par rapport à y, soit, une fois par rapport à j? el deux fois par rapport à v, soit trois; fois par rapport à y, elles seionl représentées par les notations

Yl^{x,y), ¥:i:,y{x,y), Vl,y.{x,y), Yy»{x,y),

ou par les notations

On continuera de la même manière.

328. Lorsqu'il s'agit d'une fonct-ion entière, le degré des dérivées partielles des différents ordres va toujours en diminuant d'une unité (325). On arrive donc nécessairement à des constantes pour les dérivées partielles d'un certain ordre ' et toutes les dérivées partielles suivantes sont nulles.

ALGÈBRE SUPÉRIEUIIE. Q.r'j

Soit, par exemple, la fonction entière du troisième degré

Fur, j) = ÂoJ?■^-^ A, jT-r -\- X^xy- -\- Asv''