Bu^-+ Bi J77 + B,j'-+ Co^' -h Cl 7 H- J)o

On en déduit successivement (32V, 327)

F^= 3AoJ?-+ 2A,^>' -1- Aa/'+aBo^H- Bij+Co, F^.=^ K^x'--^ i\^jcY -^- 'ikzy--\- Bi j: H- 2B2 >• + C|,

FI-î = 6Ao^ + 2A1J + 2B0, Fj^^=; 2Ai^ H- 2A2 V 4- B],

FI'a=^6Ao, Fl'.i,^.= 2A,, Fi',,.î=2A2. FJa^ôAs.

Toutes les dérivées partielles du troisième ordre étant des constantes, les dérivées partielles d'ordre supérieur sont toutes nulles.

On peut remarquer que l'on a

Y'y^y.rzz '2K^X -<r 2 A^J^- Bi= F^,,-, FJ.',x»= 2 A, := Fjj y) F^'»,a-^ 2 Aj^: F."-,^t.

11 en résulte que, pour le cas considéré, si les indices de F sont composés des mêmes lettres affectées des mêmes exposants et que l'on prenne ces lettres dans un ordre quelconque, les dérivées partielles correspondantes demeurent identiques, c'est-à-dire que l'ordre suivant lequel on forme les dérivées partielles successives est indifférent. Nous reviendrons plus tard sur ce point important {voir Livre V).

329. Reprenons maintenant le polynôme entier quelconque V{x,y) et donnons respectivement aux deux variables x eiy (327) les accroissements h et k. Il s'agit de trouver le développement de F(^ + h, y -\- k), pour en déduire ensuite l'accroissement correspondant

Y{x + h,y-\-k) — ]^{x,y) subi par le i)ol\ uome.

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