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ALGEBRE SUPERIEUrxE.

330. Remarquons que le terme général du développemenl obtenu, qui est le dernier écrit ci-dessus, revient à

fi(/i — i)(n— 2) „

F.rn'-3,^3 ( j:, j )/i«-3 A3 -f- . . . + F

En se re.iorlanl à la formule du binôme (233), on peut donc ' le mettre sous la Jorme symbolique

[¥A^,y)h-^Y'y{x,y)kY,

en convenant que les e.vposanls qui doivent alors affecter successivement Y^{x,y) et Yy{x,y) indiqueront seulement le nombre d'accents de la lettre F et l'exposant de son indice. D'ailleurs, dans cbaque terme du développement, les accents des deux lettres F devront s'ajouter, de manière que chacun d'eux contiendra F"*'(^,/), et l'on réunira en même temps, pour F<"', les indices x eX, y dont la somme des exposants sera toujours égale à /?.

331. D'après la formule (i) (329), l'accroissement pris par le polynôme entier F(x, y), lorsque les variables x et y reçoivent d'une manière indépendante les accroissements simultanés h et k, a pour expression

= F,{x, y)'l^ Fie {X, y) ^ + F:, {X, y) ^ + • • •

+ Fr(^, y) - + ^x,y{^, y) — + F;.,^.(^, y) — - + . . .

+ ^y (-^^ y) -TT + Fx, >K^, y)—- -H . . .

tMj, symboliquement (330) et en abrégeant l'écriture,

(f;.// + f;ao^

33*2. La démonstration donnée pour le cas de deux variables a? et r peut s'étendre sans difficulté au cas d'un plus grand nombre de variables.

On trouvera, par exemple, pour un pol^'nôme entier T{^, y, z), fonction des trois variables indépendantes a:, y, z, ces trois variables recevant respectivement les accrois- .sements h, k, l, et en abrégeant l'écriture dans le second membre (327),

+ rky