On applique, en général, ce théorème comme le pré

cèdent (373, 375); car, ordinairement, l'expression u% ou 's/u^ tend vers une limite déterminée, lorsque n croît indéfiniment.

Nous nous bornerons donc à cet énoncé :

380. VI. Lorsque, dans une série , V expression u^^ ou \/u,, tend vers une limite déterminée l, quand on fait croître n indéfiniment, la série est convergente ou divergente, suivant que cette limite l est plus petite ou plus grande que i. Lorsque cette limite l est égale à l'unité, la série est divergente, si l'expression 'sfun. reste, à partir d'un certain rang, constamment supérieure à l'unité; lorsqu'elle reste constamment inférieure, il y a doute f et la série peut être convergente ou divergente.

381. Il est intéressant de montrer que la proposition que nous venons d'établir (378, 380) rentre, avec toutes ses conséquences, dans la proposition précédente (371, 372, 373,

375), c'est-à-dire que les deux expressions — ^^ et y/w^, oni

précisément la même limite.

Soit, en effet, la série

Mo H- «<i 4- «0 + «3 + • • • -+- "rt-i + "/î + "«+1 +

Admettons qu'elle donne

lim^^^ = / et limv^=/:.

Il faut prouver qu'on a toujours /= l^.

Pour cela, nous introduirons la variable x et nous considérerons la série auxiliaire

Uq-\- UiX H- U.yX'-i- «3^'H-. . .

11 est clair que les deux limites / et li se trouveront simplement multipliées par x (370).

Par conséquent, la série auxiliaire sera convergente, si l'on a

/a; < I ou X <i j]

3j8 ÂLchcilE SUPÉRIEURE.

et elle sera divergente, si l'on a

/i^r > I ou a;> — .

Or, si l'on n'avait pas y = ^ ou /= /;, on pourrait attribuer

a X des valeurs comprises entre y et y et, pour ces valeurs

spéciales, la série auxiliaire serait à la fois divergente et convergente, ce qui est absurde.

On a donc nécessairement /= /,.

log — u