VII. Si, à partir d' an certain ran^, le rapport

^ '^ log/i

est constamment supérieur à un nombre fixe k plus grand

que I , la série est convergente; si ce rapport est constamment

inférieur à un nombre fixe k plus petit que i. la série est

divergente.

Dans la première hypothèse, la condition

log- -r-^>k

log/i

conduit successivement {A.lg. élém., 3o3, 351., 80, 350) aux

relations

loff — > klogn, log — > log«^", — > «*.

On peut donc écrire

Il en résulte que les termes de la série proposée sont, à partir de u,i, inférieurs aux termes de la série

qui est convergente puisque k est > i (377, 3°).

La série proposée est, par suite, elle-même convergente (370).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3lQ

Dans la seconde hypothèse, !a condilion

'^^^ log«

conduit successivement aux relations

log — < k\o^n, log — < logn-^, — < n''.

On peut donc écrire

Il en résulte que les termes de la série proposée sont, à partir de Un, supérieurs aux termes de la série

qui est divergente, puisque A- est < i (377, 3"). La série proposée est, par suite, elle-même divergente (370).