IX. Soient les deux séries
(1) Mo+ «1+ î<2+ «3 + - ■ •+ ««-1 -H '/«+ l-'n + l +
(2) Po-Ht''i + ('2-i- <'3+. • ■4-t'«-i + ('«+ »'«+! + •
5i, « partir d' un certain rang, on a constamment
la convergence de la première série entraine la convergence de la seconde; si, à partir d'un certain rang, on a, au contraire, constamment
('« lin
la divergence de la première série entraine la divergence de la seconde.
Soit, d'abord,
'•'n-t-l ^ lln-^l ^'n+l ^ ^' n ^
On en déduit
Un
('„+,< iin+1 -^^— el, a fortiori, t^„4-2< «^+2 — '
W/j-(-i lin
Vn^z < ««+3 — ^-^ et, « fortiori, v^^^ < «„.j.3 — ^ ,
La série (i), étant supposée convergente, le restera (3G6) quand on niuilipiiera tous ses termes, à partir de m„+i, par le
facteur—^- Mais alors tous ses termes, à partir du terme
Un
u,i+\ —5 deviendront plus grands, d'après les inégalités pré-
II n
cédentes, que les termes correspondants de la série (2). La série (2) est donc, a fortiori, convergente (370).
Soit, maintenant,
