m- 1.2.3 ni
Remarquons que, dans les différents termes du développement, à partir du deuxième, le numérateur contient toujours aulant de facteurs qu'il y a d'unilés dans l'exposant de la puissance de 771, qui se trouve en dénominateur. On peut donc, dans chacun de ces termes, effectuer la division par la puissance correspondante de /« en divisant chaque facteur du nu-
merateur par 771; si ion remplace alors partout— par i, en ' ' ^ /n
n'écrivant pas ce facteur en dehors des parenthèses, l'exprès-
iH
348 ALGÈBlîE SUPCRIEURE.
sion considérée prend évidemment la forme
I \ '" I ni \ m \ m
TU I \ m
Supposons à présent que m augmente en restant lini.
Les iraclions —-, — > — ? •••; vont alors en diminuant, et il m m m
en résulte que les lacteurs i > i •> i — — ? ■■-, (luj
/Il m m
entrent dans les numérateurs des différents termes du développement, vont en croissant. Ces termes, tous positifs, augmentent donc eux-mêmes, et l'on peut dire, par conséfjuent,
que l'expression ( i -h — | croît en même temps que m. Il
est facile de voir que c'est en s'approchant d'une certaine limite fixe.
Observons, en premier lieu, que les numérateurs des termes du développement sont, à partir du troisième terme, tous moindres que i; car ils sont composés de facteurs moindres que l'unité (409).
Cela posé, comparons l'expression (i) à la série e (iOO)
III I
Les deux premiers termes sont les mêmes. Les autres termes ont les mêmes dénominateurs; mais les numérateurs des termes du développement sont inférieurs aux numérateurs des termes de la série, qui sont tous égaux à l'unité.
L'expression (i) est donc moindre que la série e, pour deux raisons : les termes de l'expression (i) sont moindres que les termes correspondants de la série^ et la série est illimitée, tandis que l'expression (i) est composée d'un nombre fini de termes tant qu'on suppose m fini.
Si l'on fait croître m, l'expression (i) comprend plus de termes, et elle augmente; mais le même raisonnement subsiste.
ALGÉCRE SUPÉRIEURE. 34Q
Par suite, l'expression {\-\ \ , à mesure que m augmente, tend vers une certaine limite fixe, inférieure à e ou, tout au plus, égale à e.
Il rcsle à démontrer que cette limite est rigoureusement e.
En efTet, considérons à la fois les n -f- i premiers termes du développement (i) et de la série (2), et supposons nfini, mais assez grand pour que la somme de la série diffère de la somme de ses {n-\- 1) premiers termes d'une quantité moindre que l'infiniment petit a (336). Comme on a trouvé (402)
il suffit, pour que cette condition soit remplie, qu'on ait
Si nous désignons par e„^i la somme des n 4- i premiers termes de la série, nous aurons ainsi
D'autre part, à mesure que m croîtra, les numérateurs des termes du développement tendront tous vers l'unité autant qu'on voudra, d'après le lemnie du n°409, et auront ;om5 pour limite l'unité lorsque m deviendra infini, puisque, par hypollièse, n reste constant et fini.
Les n 4- I premiers ternies du développement tendront donc, à leur lour, respectivement vers les « 4- 1 premiers termes de la série et en approcheront autant qu'on voudra, pour m assez grand.
Si nous désignons par i„+, la somme des n 4- i premiers termes du développement, et si nous remarquons que, 2„+.i étant composée d'un nombrey?«f de termes, la somme de ces termes a pour limite la somme de leurs limites (3i2), on pourra toujours donner à m une valeur assez grande pour que la différence entre e,,^ , et 2„+i soit aussi moindre que a, de manière à avoir, comme nouvelle inégalité,
On aura donc, par addition des inégalités (3) et (4), , e — i„+i<2a.
OOO
ALGEBRE SUPERIEURE.
Or nous avons montré que la limite de ( n — ) est moindre
que e, et cette limite est nécessairement supérieure à In+i. On peut, par suite, écrire a fortiori
et, comme 2a est un infiniment petit, on a rigoureusement, pour m^zcc,
e =:lim ( I H
Conséquences.
4.12. Nous avo-.iS supposé, dans ce qui précède, que m était e/itier et positif. Nous allons prouver que, lorsqu'il reçoit des \a\euTS, fractionnaires ou négatives, tout en croissant indéfi-
reste toujours la même.
il3. 1° Cas de m fractionnaire. — Admettons que m, positif et croissant indéfiniment, puisse recevoir des valeurs fractionnaires.
Soient deux entiers consécutifs/? et/? + i, qui peuvent croître indéfiniment. S'ils comprennent toujours entre eux m, c'est-à-dire si l'on a constamment
m remplira la même condition. On aura alors évidemment la double i.iésralilé
car, dans la première, on 31ève une quantité moindre à une puissance plus faible et, dans la seconde, on élève une quantité plus grande à une puissance supérieure. Or cette double inégalité peut se mettre sous la forme
ni
Lorsque le nombre fractionnaire m tend vers l'infini, il en est de même des nombres entiers /> et/»H-i entre lesquels il
doit toujours tomber. Les deux puissances ( i 4- ■ \ et
I \p n — 1 ont donc alors e pour limite commune (411); et, en
même temps, l'unité est la limite commune du diviseur
iM et du mulliplicateur ih Les deux expressions
extrêmes tendent donc vers la même limitée, de sorte que la quantité qu'elles comprennent remplit nécessairement la même condition, et qu'on peut poser, pour m r= oo, dans l'bypollièse de m fractionnaire comme dans celle de m entier,
hV\. 2" Cas de m négaUf. — Admettons que m puisse recevoir des valeurs négatives, tout en croissant indéfiniment en valeur absolue.
Nous poserons m i=r — w', /?i' étant supposé positif. Pour ;?^ = — GO, il viendra m' = oo.
Nous aurons alors successivement {Alg. élém., 85)
m j \ ni j \ m j \ni — -i
En effectuant la division de m' par m' — i, il viendra
