Limite deii^ | on de ii j ? quand r.i tend

vers r infini.

Il peut arriver que, dans l'expression ( n j > le dénominateur de la fraction comprise dans la parenthèse et l'exposant de la puissance soient de signes contraires. La limite de la nouvelle expression, pour /?iz=cc, est alors l'inverse de

la limite précédente ou -• e

En effet, on a évidemment

c'est-à-dire (3i4, Mo)

liml i-^ = -

De môme, on a

c'est-à-dire (3i4, 415)

liml .--L Y" =1,

ALGÈBRE SUl'ÉIUEURE. 353

Série e^.

418. Au lieu de l'expression f 1+ — j , considérons enfin l'expression

où m est supposé tendre vers l'infini et où la variable x a une valeur quelconque, mais' déterminée.

En prenant d'abord m entier, positif et très grand, pour pouvoir appliquer la formule du binôme, on prouvera, en raisonnant comme on l'a fait au n" 411, puis aux n''^ 413 et 414, que l'expression proposée a toujours pour limite (415), au lieu de la série e, la série

IH H • 1 5 H- . . . -t-

dont la série e n'est qu'un cas particulier et que nous avons étudiée au n" 404.

Cette série est convergente, comme on l'a vu, pour toutes les valeurs déterminées de x, quelles qu'elles soient.

On a d'ailleurs, identiquement (150),

IH

ni

On peut poser — := a, d ou — = -• L expression precedénie devient ainsi, en fonction de a.

Comme, par hypothèse, x a une valeur déterminée, a tend vers zéro quand m tend vers l'infini, et réciproquement. A la

limite, pour m =:: 00 ou a.= o, l'expression (14-a)^ devient égale à e (416). On a donc finalement (345)

Ui, (',. — Cours. III. 23

c'est-à-dire que la série précédente a pour somme e^ et qu'on peut écrire

développement important que nous retrouverons plus loin.