DES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

Emploi de la méthode des coefficients indéterminés.

419. Celte méthode (25) a fait connaître un grand nombre de développements en séries. Son application est simple et rapide; mais il ne faut pas oublier la remarque déjà faite relativement à son mode d'emploi (30), et l'on doit vérifier avec soin l'exactitude des résultats auxquels elle conduit.

420. Proposons-nous, par exemple, de développer en série une certaine fonction de la variable x. Admettons que cette fonction V{x) demeure réelle et varie d'une manière continue {Alg. élém., 310), lorsqu'on fait croître la variable x elle-même d'une manière continue à partir de zéro, et cherchons la série qui peut légitimement représenter la fonction, en la supposant ordonnée suivant les puissances ascendantes de X, entières et positives.

Nous poserons alors

(i) F(^) = A4-Ba^ + C^2^D.r3 + E^* + ...,

en désignant par A, B, C, . . ., les coefficients indéterminés, indépendants de x, dont il faut calculer la valeur dans la série du cecond membre.

En ayant alors recours à une propriété de la fonction F(.r) facile à mettre en évidence, on cherchera à exprimer cette propriété à l'aide de la série supposée, de manière à parvenir à une égalité telle que

(2) P + QjP + R^2^S^^-f-Ta^* + ... = o.

Dans cette nouvelle égalité, P, Q, R, ... seront des quantités indépendantes de x, composées avec les coefficients

indéterminés A, B, C, .... Mais l'égalité (2) devant subsister, quel que soit x, est une véritable identité (16, 17) conduisant aux conditions

Ces équations (3) permettent, en général, de trouver tous les coefficients A, B, C, .... 11 faut, dans certains cas, quelques-uns de ces coefficients demeurant inconnus, remonter à l'équation (i) pour les découvrir en faisant usage de propriétés spéciales de la fonction donnée F(^")'

421. On ne peut d'ailleurs opérer comme on vient de l'indiquer, que si, dans la relation (i), la série représente légitimement la fonction, au moins pour certaines valeurs de a?, qui seront ordinairement les petites valeurs de la variable, inférieures à l'unité. Il est donc indispensable que la série soit convergente pour ces petites. valeurs de x (35i). Et, si celte convergence n'est pas établie a priori, il faut la vérifier après coup avec le plus grand soin et montrer que la série représente bien la fonction dans les limites indiquées.

42'2. Il est clair qn'une même fonction Y{x) ne peut correspondre qu'à une seule série convergente de la forme

A-|-B.z^ + C.r2 + Dx3 +

Si Ton trouvait un second développement de même forme,

il devrait être égal au premier, et l'on aurait

( K + 'Qx-^Cx- + Dx^-^...

i z=A'-hB'.r-f-C'^-4-D'^3 + ...

ou ;

Comme cette dernière égalité, vraie quel que soit x dans les limites convenables, est une identité, on en déduit immédiatement (17)

En d'autres termes, deux séries convergentes , ordonnées suivant les puissances ascendantes de x, entières et positives, ne peuvent être égales sans être identiques.

EXEMPLE

423. Pour bien fixer les idées sur les considérations précédentes, nous traiterons l'exemple suivant :

Développer en se'rie ordonnée le produit indéfini

Désignons ce produit par Ç, et posons

$ = i-f- Ai.r-+- Aî.r2-f- A3.r3-f-.. .,

Al, Aj, A3, . . . étant les coefficients à déterminer dans la série supposée.

Si l'on change x en x"^ dans cette série, elle devient

i-f- Al jc2 H- X^x* -H A3 .r^ -i- . . . ,

D'autre part, si l'on elTeelue le même changement dans le produit donné, il devient évidemment

c'est-à-dire