I -+- X On doit donc avoir

, . , , . , , . R , IH- Ai.r-l- Aa^rï-H A3x'«-+-...

Au lieu de former la relation

du n° 420, et d'égaler ses coefficients à zéro, il revient au même de chasser le dénominateur i-f- j; et d'égaler les coefficients des mômes puissances de x dans les deux membres de l'égalité qu'on vient d'obtenir.

On trouve ainsi, successivement,

Ai = i, Ai = A2, Ai = A3, A2=A4, A2=.A5, A3 = Ae, A3= A7, . . .,

c'est-à-dire Ai = i, Ai=A2; A2=A3. A3 = Ai, A4=A5, On a donc, finalement.

(i-^a-)(i -(-.r«)(i-!-.ri)('i-f-,r8)(i-!- jci6)..

Le second membre de l'égalité (i) représente légitimement le quotient , lorsque ^ est <i (336); il représente donc aussi légitimement, sous la même cpndition, le premier membre de cette égalité. On a, en effet, identiquement,

I i -^ X d -f- .r) d -f- JT^)

Pour la «'™^ fraction, n entier tend vers l'infini et, x étant < i, x^"'' est un infiniment petit qui s'annule à la limite (336). On trouve donc

alors, pour valeur du premier membre de l'égalité (i), le quotient

ou le second membre de cette égalité.

Le développement en série est ainsi justifié.

Développements en séries des fractions continues dont les numérateurs des fractions intégrantes sont tous égaux à l'unité.

i2i. Nous rappellerons d'abord que, lorsqu'on réduit une quantité quelconque en fraction continue (loi), les réduites de rang impair, inférieures à celle quanlilé, forment une suite croissante, tandis que les réduites de rang pair, supérieures à celle quantité, forment une suite décroissante (loi, 155, 156). Ces deux suites se terminent quand la quantité considérée est conimensurable, et la dernière réduite reproduit sa valeur. Quand cette quantité est un nombre incommensurable, la différence de deux réduites consécutives allant toujours en diminuant et tendant vers zéro, les deux suites indiquées se rapprochent indéfiniment et convergent vers une limite commune qui est ce nombre incommensurable (163).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SSq

425. SoilXla quantité réduite en fraction continue. Représentons les réduites successives par

Il h h Ijl

Q.' Q.' Q.' '■■' Qn'

On peut écrire identiquement, comme valeur de la réduite P„

Qn

Pi^

~Q. "^VQ^

qJ

fW

(Pn

""Qay

Iq.

En considérant les fractions renfermées dans les parenthèses du second membre de cette identité, on sait que le numérateur de la différence de deux réduites consécutives est toujours ± I suivant le rang de la première réduite (160, 161).

Nous aurons donc à la limite, puisque ^ converge autant

(|u'on veut vers X à mesure que l'entier n tend vers l'infini,

X = lim ^

Q. Q.Q. Q2Q3 Q3Q4 "* Q.-iQ/"

X sera ainsi la limite de la série convergente écrite dans le second membre de l'égalité (2) et obtenue en fonction des éléments de la fraction continue qui correspond à X.

426. Tout développement en fraction continue pouvant ainsi donner lieu à un développement en série, il est naturel de chercher, réciproquement, à développer en fraction continue toute série convergente.

Mais alors on est conduit, comme nous le verrons bientôt, à des fractions continues dont les numérateurs des fractions intégrantes ne sont plus tous égaux à l'unité.

Avant d'aller plus loin, nous croyons donc nécessaire d'exposer succinctement les propriétés de ces fractions continues, plus générales que celles que nous avons considérées jusqu'à présent.

Digression sur les fractions continues dont tous les éléments peuvent être des nombres quelconques.

427. Nous allons considérer des fractions continues de la forme

ôiH '-

où les numérateurs ai, a^, a^, . . ., des fractions intégrantes (151) —S -T-^j -7^, ' ■ • ■> peuvent èlre des nombres quelconques

Oi «2 ^3

différents de l'unité.

i28. Calculons d'abord les premières réduites, pour chercher à découvrir leur loi de formation.

Les quatre premières réduites sont les suivantes :

Première réduite :

a Deuxième réduite :

a, abt -+- a.

Troisième réduite a.

a, ba

bib^-h «2

abib.2-\- a^b^-^- aa^ bi b^ 4- «2

Quatrième réduite :

b^b^-ha^ a, b^b^-^ a^az

bi bib^-i- b^a^-^ a^b^

abi b-ib^ 4- a, bob^-^aa^ b^-\-ab^ as H- a, a^ bib^by^ a^bi-h 6, «3

Algèbre supérieure. 36 i

On aperçoit immédiatement, pour la troisième et la quatrième réduite, qu'il faut multiplier les deux termes de la dernière réduite calculée par le dénominateur de la nouvelle fraction intégrante introduite et ajouter le résultat obtenu terme à terme avec la réduite anté précédente, en multipliant préalablement les deux termes de celle-ci par le numérateur de la nouvelle fraction intégrante.

Nous allons généraliser ce résultat, en remarquant que, si les numérateurs des fraclions intégrantes sont tous égaux à l'unité, on retombe sur la loi connue (137).

Désignons symboliquement les réduites successives de la fraction continue par

Po P, £2 £3 p.

Qo' Qi' Q2' Qa' ■■■' Q«' '■"

l'indice se trouvant ainsi en retard d'une unité sur le rang de la réduite.

Si l'on applique l'énoncé précédent à trois réduites consé-

culives quelconques -Fr—^-> jr--> 77^-^' on obtient la formule

, , P/; + l ^ /) '^/) + l + P«-l^ra-l-l

où les termes des deux fractions sont séparément identiques, c'est-à-dire satisfont aux relations

U«-(-l=^ Vrt^re-M+ V«-l^/J-4-l-

Pour montrer que la formule (i) subsiste toujours, il suffit, suivant un tour de démonstration usité, de prouver que, si elle est vraie lorsque l'on considère les fractions intégrantes jusqu'à

et ,

-> elle l'est encore lorsqu'on passe à la fraction intégrante

Or, en se reportant à l'expression de la fraction continue

(427), on voit que, pour déduire la réduite ^""^" de la réduite

, "^' ? on n'a qu'à changer, dans le second membre de la for-

ALGEBRE SUPERIEURE.

mule {i), brt+i en 6„^,+ t^—- On trouve ainsi

rn ( f^/i^l + T )+ r„j<7„^.i

' QJ*n+l+ ^^^WQ«-1Û',

OU, en cliassant le dénominateur b^+i,

P„H, ( P„ bn+t + P„, «„+, ) /^„+2 + P« ««-

On en déduit immédiatement, d'après la formule (i),

Pra-t-2 4 „H| C'n-i-2 ~t~ r„6!„^2

Ainsi, lorsque l'on considère une nouvelle fraction intégrante et une nouvelle réduite, la formule (i), supposée applicable jusque-là, se trouve encore vérifiée. Comme on l'a démontré directement pour la troisième et la quatrième réduite, elle se trouve établie pour la cinquième, et ainsi de suite. Elle est donc tout à fait générale et exprime la loi de formation des réduites.

429. On peut facilement, comme nous l'avons fait pour les fractions continues spéciales, étendre cette loi de formation à la deuxième réduite elle-même.

En introduisant, en dehors des réduites réelles, la réduite

fictive -) nous aurons la suite (428) o

ab,

et la deuxième réduite -^ sera bien liée, suivant la même

Po I

règle, aux réduites 7=^- et -• Qo o

430. Proposons-nous de déterminer la différence de deux réduites consécutives.

On a

Pff-^l P?; P/2-1-1 V/i — Vn-^1 P/î

11 faut trouver l'expression générale du numérateur de cette différence, qui se réduit à ±i quand tous les numérateurs des fractions intégrantes sont égaux à Tunité (161). Prenons les relations (i28)

Vrt-t-1 ^^^ V/i '^«-(-1 + U« — I<^«-i-l-

En substituant ces valeurs de P„+i et de Q„+i dans le numérateur P„4-iQ«— Q„4iP«, il vient

(P„6„4-, -hP„ia„^,)0„— (Q„6„+, + Q„,a„+i)P„ = -(P„Q,,-0,P,,)««+i.

On obtient donc la formule générale (i) P„^,Q„- Q„-.,P„= (- I) (P.Q„-, - Q,P«^, )«.+,•

. En faisant successivement, dans cette formule (i), nz=i\,. 2, 3, 4, • • -, n, on en déduit les relations

P2 O1-Q2 P, = (-0(PiQo -Q,Po )«2,

Remarquons que les deux premières réduites (4-28) Po a Pj aô, -f- a,

ont précisément, pour numérateur de leur différence,

P.Qo-QiPo=«i.

Il en résulte évidemment que, si l'on multiplie membre à membre toutes les relations précédentes, on obtient, après simplification,

(2) ^ n + \Qn— Qn + \^ n— {— I )" «i a, «3 «2; . . .a„+^.

Si les numérateurs a^, a^, a^, . . ., a„-i-i des fractions intégrantes sont tous égaux à l'unité, on retrouve bien la formule connue (161). En effet, l'indice n + i indique (i28) qu'il s'agit, comme première réduite, de la réduite de rang n-\- 2. Or, « -h 2 est pair ou impair en même temps que n.