Il suit de la formule (2) (430) qu'on a

__ (—lYaia.a^a.^. . .a„.

Si l'on fait, dans cette formule (3), « = o, i, 2, 3, . on trouve successivement

Po

Oo

Qi

Qa

QoQi >

En remarquant que la première réduite -^ est — > on ob-

tient, en ajoutant toutes ces égalités membre à membre et en simplitiant, le développement

qui, sauf un changement de notation, concorde avec celui que nous avons indiqué au n° 425, lorsqu'on suppose égaux à l'unité tous les numérateurs des fractions intégrantes.

Si la fraction continue générale, dont nous venons d'étudier les propriétés les plus simples, est illimitée, on fera tendre n vers l'infini, et l'expression (4) représentera le développement en série de cette fraction continue.

Nous allons maintenant traiter quelques cas de la question inverse (426). Nous y sommes mieux préparé.

ALGEBRE SUPERIEURE.

Transformation des séries en fractions continues. 432. I. Considérons d'abord une série S de la forme

On peut écrire identiquement I I a, — a.

cil "T~ "

eu — a.

Remplaçons dans cette égalité — par ? c'est-à-dire

par

Cela revient évidemment a remplacer ^aa, dans —, ou a^,

d'une manière générale, par

as — ao «2 ^i ^^3 — '^2

En effectuant les deux changements correspondants dans les deux membres de l'égalité (i), nous aurons

cil 1-

aï

Nous pourrons de même remplacer, dans le premier membre de l'égalité (2), — par et, dans le second membre,