Soit la série
qui est convergente, comme on le sait, pour x <i (336) et qui représente alors le quotient
En appliquanl la formule (4) du n" 434 el en y faisant bi = \. bi = — X, bz= X-, bi=z — x^, ..., nous aurons
c'est-à-dire
valeur qu'on peut facilement ramener à la forme plus simple S = . '-
En s'arrêtant dans la fraction continue à la fraction intégrante de rangrt, il est facile de vérifier que la fraction limitée correspondante représente la somme des n premiers termes de la série.
i37. III. Nous terminerons en considérant une série de la forme
a ab abc ahcd abcde On a idenliquemenl
a ab a\ b) ab ab a
Mais la somme des trois premiers termes de la série
bc a\ 1} bcj
I I I I / Il
a ab abc
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. o6g
Il faut donc, pour avoir le développement des trois premiers lormes de la série, remplacer simplement, dans l'égalité (i),
- par -j — j- ou, dans le second membre de cette égalité, b par
bc . b
b^ Te
On a alors
cib ab
De même, la somme des quatre premiers termes de la série 1 I I I 1 / I I I \
a ab abc abccl a\ b bc bccl )
Il faut donc, pour avoir le développement de ces quatre premiers termes, remplacer simplement, dans l'égalité (2),
- par ■. ou, dans le second membre de cette égalité, c par
c c cd ° ' ' .
I cd c
I cl — I ^ ' cl —
cd
II en réiulte
I I I a ab abc
abcd a
La loi est évidente, et, en continuant toujours le même calcul, on voit que la série S transformée en fraction continue illimitée a pour valeur
De c. — Cours. III. i!\
EXEMPLE
