NOTIONS SUU LA CONTINUITÉ

Variables et fonctions.

439. En Algèbre, où l'on emploie des symboles généraux, il semble qu'on puisse toujours substituer à ces symboles des valeurs quelconques. Mais il y a lieu de distinguer, dans chaque question, entre les variables et les constantes.

On appelle variable toute quantité qui, dans la question proposée, est regardée comme devant prendre successivement des valeurs difl'érentes.

On appelle constante toute quantité qui, dans cette môme question, est regardée comme devant conserver une valeur fixe.

Les variables sont, par cela même, indéterminées; les constantes sont déterminées.

C'est en étudiant l'énoncé de la question qu'on sépare dans chaque cas les variables et les constantes.

440. Toute quantité qui dépend, suivant une loi quelconque, d'une ou de plusieurs autres quantités, et qui varie en même temps qu'elles, par suite de leurs propres variations, est dite fonction de ces quantités.

441. Soient, par exemple, les deux quantités x etr, supposées telles, que si l'on donne à x une valeur déterminée,

372 ALGÈBIIE SUPÉRIEURE.

y prenne à son tour et nécessairement une autre valeur déterminée, y dépendra alors de œ et, quelles que soient la nature de cette dépendance et la série des opérations à efTectuer pour déduire, de la valeur donnée à j:, la valeur correspondante ou simultanée de y, celte quantité variable f sera une fonction de la quantité variable ^. D'ailleurs, comme c'est x que l'on fait, dans cette bypotbèse, varier directement et arbitrairement, on dit que jc est la variable indépendante.

On conçoit que x est réciproquement une fonction de y regardée comme variable indépendante.

Cette fonction / de a? et cette fonction x de /, qui ne sont que deux modes d'expression d'une liaison identique, sont dites inverses l'une de l'autre. Nous reviendrons sur les /o«ctions inverses.

4i2. On peut avoir plus de deux variables à considérer.

Si la quantité variable u dépend, comme on vient de l'expliquer pour / comparée à œ, de plusieurs autres quantités variables x, y, z, . . ., c'est-à-dire si u est nécessairement déterminée lorsqu'on donne h x, y, z, ... des valeurs déterminées, on dit que u est une fonction de x, y, z, ..., regardées comme variables indépendantes.

443. Pour indiquer d'une manière générale qu'une variable est fonction d'une seule variable x, sans préciser par quelles opérations elles dépendent l'une de l'autre, on emploie les notations

V{x), f{x), o{x), Fi(jc), X,

De même, on indique une fonction de plusieurs variables x, y, z, . . . par les notations analogues

Nous en avons déjà vu de nombreux exemples.

On peut toujours employer les notations précédentes, dès qu'on est certain que les quantités considérées sont fonctions l'une de l'autre ou l'une des autres, lors même que la loi qui les lie n'est pas exactement connue ou n'est pas susceptible d'une expression analytique.

Comme on le sait déjà, si l'on attribue à x une valeur spéciale a, le résultat de la substitution de « à la place de ^ dans F(x) est représenté par F(a). De môme, F(a, h,c, ...)repré-

ALGEBRE SUPERIELUK.

sente le résultat de la substitution des valeurs a, b, c, . . ., à la place de .r, 1-, :;, ..,, dans la fonction F(^, r, s, ...)•

4ii. Supposons qu'on ait

Si l'on conçoit cette équation résolue par rapport à x, on en déduit

Les deux fonctions désignées par les signes F et o sont ce que nous avons appelé des fonctions im-erses. La remarque faite à ce sujet (iil) acquiert une pleine évidence, lorsqu'on regarde/ comme l'ordonnée de la courbe qui représente ^/•flphiquement la fonction y^F(^) et x comme son abscisse {Alî^. élém., 312 et suiv.). La courbe «^tant construite, il est clair que l'on peut aussi bien regarder l'ordonnée d'un de ses points comme fonction de l'abscisse, que l'abscisse elle-même comme fonction de l'ordonnée.

ii5. En général, les variables qui entrent rlans une question sont liées entre elles par un système d'équations exprimant tontes les conditions de l'énoncé.

Il y a toujours plus de variables que d'équations; sans quoi, elles seraient, en général, déterminées, et ne joueraient plus le rôle de variables.

Supposons, par exemple, qu'on ait six variables et quatre équations. On choisira alors deux variables qu'on regardera comme devant recevoir des valeurs arbitraires et qui seront les variables indépendantes. Les quatre autres variables, déterminées par les valeurs des deux premières, à l'aide des quatre équations posées, seront des fonctions de ces deux premières variables.

Si l'on cherche l'aire d'un cercle, les deux variables sont l'aire du cercle et son rayon, liés par une seule équation {Géoni., 259). On peut alors prendre le rayon pour variable indépendante, et dire que l'aire du ceixie est fonction de son rayon.

De même, si l'on cherche le volume d'un cylindre de révolution, les trois variables sont le volume du cylindre, sa hauteur et le rayon de sa base circulaire, liés par une seule équation {Géom., iiS). On peut alors prendre la hauteur et le

3'^4 ALGÈBRE SXJPÉRIELRE.

rayon pour variables indépendantes el dire que le volume du cylindre de révolution est fonction de sa hauteur et du rayon de sa base.

Différentes espèces de fonctions.

44-6. Les fonctions appartiennent naturellement à deux catégories principales : elles sont algébriques ou transcendantes.

Dans le sens le plus général,/ est une fonction algébrique de X, quand chaque couple de valeurs correspondantes de x et de y satisfait à une équation de la forme

dont le premier membre est un polynôme entier et rationnel en X et en y.

Cette définition s'étend aux fonctions de plusieurs variables. Ainsi ^est une fonction algébrique de x et de/ quand chaque couple de valeurs correspondantes, de .:; d'une part, et de x et de/, d'autre part, satisfait à une équation de la forme

dont le premier membre est un polynôme entier et rationnel en X, y, z.

Les fonctions transcendantes sont toutes celles qui échappent à la définition précédente, comme

/z=a^, / = log:r, / = sina:, /=langj:,

Y z^^m arctang— •