Tout polynôme entier en x, tel que
Ao^"' + Ai^'«-'-f- A2^'"-- + . . .-h A,„i^ + A,„,
où m est un nombre entier et positif et Aq, Ai, Aj, . .., A„jdes nombres constants, est une fonction entière de x. Le quotient de deux polynômes entiers en x, tel que
Aax'"- -h A, x'"-^ -^ A.2X'"-- + . ■ ■ -h A„,.,i -r H- A,„ BoX^-hUiX"-^^ B.yx"---\-. . .-hB„-iX-i- iJ„
est une fonction rationnelle de x.
Lorsque la fonction algébrique définie (44G) par l'équalion
est du premier degré en j, on voit qu'elle donne précisément pour/ : ou un polynôme entier en a;, c'est le cas de la fonction entière; ou le quotient de deux polynômes entiers en x, c'est le cas de la fonction rationnelle.
448. L'étude des fonctions entières constitue précisément la Théorie générale des équations {Algèbre supérieure, II" Partie). Quantaux fonctions rationnelles, nous examinerons également dans cette seconde Partie la décomposition importante à laquelle on peut toujours les soumetire {Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples).
4.49. Une fonction est dite explicite, lorsqu'elle est exprimée immédiatement au moyen des variables dont elle dépend, c'est-à-dire lorsque les opérations à effectuer sur les valeurs des variables pour obtenir les valeurs correspondantes de la fonction sont indiquées immédiatement par les signes connus.
Ainsi les fonctions
yT= X ± \J X- — a', / =: log^
sont des fonctions explicites de x : la première est algébrique, la deuxième est transcendante.
La forme générale des fonctions explicites est
450. Une fonction est dite implicite, lorsqu'elle est mêlée aux variables dont elle dépend dans des équations non résolues, de sorte que les opérations à effectuer sur les valeurs des variables pour obtenir la valeur correspondante de la fonction n'apparaissent pas; ou bien, lorsque la fonction est liée aux variables par des conditions non exprimées.
Si l'on a, par exemple,
(\x- — 2 xy + /- — 3 «■- =: G,
V est une fonction implicite de x, comme x une fonction implicite de y. En résolvant l'équation donnée par rapport
