ALGEDRf: SCPÉniEUUE

à l'une des variables j, on passe de la fonction implicite à la fonction explicite

La forme générale des fonctions implicites est F{a',y,z, .. .) = o.

Extension de l'idée de fonction. Intervalles. Fonctions finies et non finies.

451. On peut étendre l'idée de fonction. Nous n'indiquons cette extension qu'à un point de vue absolument théorique, et pour faciliter la compréhension des notions qui suivront.

Nous dirons d'abord un mot de ce qu'on entend par un ensemble de nombres.

Quand des nombres satisfont exclusivement à une certaine condition déterminée, ils forment un ensemble : ils peuvent être rationnels ou irrationnels, égaux ou inégaux, en nombre fini ou infini.

L'ensemble de ces nombres est défini, lorsqu'on peut reconnaître que tel nombi'e donné appartient ou non à l'ensemble. Ainsi, les nombres entiers forment un ensemble, d'où sont exclus immédiatement les nombres fractionnaires et les nombres incommensurables.

Quand aucun des nombres considérés ne surpasse une certaine limite L, l'ensemble admet une limite supérieure L; quand aucun de ces nombres ne tombe au-dessous d'une certaine limite /, l'ensemble admet une limite inférieure L Ou bien les deux limites seront atteintes et feront partie de l'ensemble, ou bien on pourra en approcher autant qu'on voudra.

4.52. Cela posé, prenons un ensemble de nombres tous distincts et regardons-les comme les valeurs attribuées à une variable x. Si, à chacune de ces valeurs de x, on fait correspondre un nombre /, on peut dire que y est une fonction définie de x pour les nombres appartenant à Tensemble choisi.

Soient maintenant deux nombres quelconques a et 6 (a<6). On peut appeler intervalle {a, b) l'ensemble de tous les nombres, rationnels ou non, compris entre a et b, les deux extrêmes a et 6 faisant aussi partie de l'intervalle.

L'étendue de l'intervalle est alors la différence b — a; et si les nombres a', b' appartiennent à l'intervalle (a, b), l'intervalle («', b') lui-même est contenu dans l'intervalle {a, b).

Pour qu'une fonction r de a: soit définie dans l'intervalle («, b), il faut qu'à chaque valeur de x représentée par un des nombres de l'intervalle corresponde une valeur déterminée de y, qu'on peut d'ailleurs assigner d'une manière complètement arbitraire.

On obtiendra par cette voie les fonctions les plus variées, sans grande utilité apparente, il est vrai; car ce sont les besoins et les développements de la Science qui ont conduit et (jui conduisent, successivement et naturellement, à l'étude des fonctions présentant un véritable intérêt. Les considérations précédentes vont néanmoins nous servir à préciser des points délicats.

433. Une fonction j = F(a;) définie dans l'intervalle (a, b) a, par hypothèse (432), une valeur déterminée pour chaque valeur de la variable x appartenant à cet intervalle.

Toute fonction entière de x est évidemment définie dans un intervalle quelconque. Il en est de même de toute fonction rationnelle de x, pourvu que l'intervalle considéré ne renferme aucune valeur de x annulant le dénominateur de la fonction (447).

Une fonction est ùxKo^ finie dans l'intervalle {a, b), s'il existe un nombre positif A tel que, dans cet intervalle, chaque valeur de la fonction soit, abstraction faite du signe, inférieure à A.

Lorsqu'une fonction y=zY{x) est finie dans un intervalle {a, b), elle admet, en général, dans cet intervalle une limite supérieure L et une limite inférieure /, c'est-à-dire que chaque valeur de je, pour une valeur de x appartenant à l'intervalle considéré, est au plus égale à L et au moins égale à /. Kn effet, quelles que soient les variations de la fonction, elle ne pourra pas, par définition, s'élever positivement au-dessus de -t- A, et elle ne pourra pas descendre négativement audessous de — A.

Il est clair que A peut se confondre, en valeur absolue et sauf un infiniment petit, avec L ou avec /. Dans tous les cas, si L et / sont de mêmes signes, on a forcément L> /; et cette condition est remplie a fortiori, si L et ^ sont de signes contraires.

3^8 A.LGÈBRE SUPÉPiIEURE.

D'après cela, la différence L — /, où L et / entrent avec leurs signes, est toujours positive. Cette différence (qui peut être nulle) est V oscillation de la fonction dans l'intervalle (a, b).

Cette oscillation a évidemment 2 A pour limite supérieure, en admettant que L et / soient de signes contraires et aient même valeur absolue; elle peut être beaucoup plus faible.

Si l'on divise l'intervalle («, b) en n intervalles partiels ei si l'on désigne dans chacun d'eux, par Li, Lj, L3, . . ., L„, les limites supérieures de la fonction et par ly, l^, l^, . ■ ., In, ses limites inférieures, L sera le plus giand des premiers nombres et l, le plus petit des seconds.

L'oscillation de la fonction dans un intervalle (a', b') contenu dans l'intervalle {a, b) (452), est au plus égale à l'oscillation L — /.

4oi. Soient une fonction j = F(^) définie dans l'intervalle {a, b) et deux valeurs quelconques de la variable, Xy et x^, appartenant à cet intervalle.

A étant un nombre positif donné, si l'on a, en valeur absolue, pour la différence des valeurs correspondantes de la

fonction,

on peut affirmer que la fonction est finie dans l'intervalle considéré (453).

En effet, sa valeur absolue reste, dans cet intervalle, toujours inférieure à F (a) 4- A.

Son oscillation est, en même temps, au plus égale à A (453).

455. Réciproquement, si une fonction / = F (^) est définie dans l'intervalle (a, b) (452), sans être finie (453), cela signifie que, quel que soit le nombre |)ositif donné A, il y a, dans l'intervalle {a, b), au moins une valeur de x telle, que la valeur absolue de F(.r) surpasse A.

Si l'on divise alors l'intervalle {a, b) en un nombre quelconque n d'intervalles partiels, il y aura au moins un de ces intervalles partiels {x^jX^) pour lequel la fonction ne sera pas fil nie et pour lequel on aura, en valeur absolue (454),

F(xi)-F(.r,)>A.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3'jg

De la continuité des fonctions d'une seule variable.

456. Ou dit qu'une variable est continue dans un certain intervalle, lorsqu'elle ne peut passer de sa première valeur à la dernière sans parcourir toutes les valeurs intermédiaires {Alg. élém., 310).

Il est entendu que ces valeurs peuvent être négatives ou positives, et que leur ordre de grandeur est toujours réglé d'après la définition adoptée précédemment {Alg. élém., 214, 218).

Par exemple, la variable x est continue dans l'intervalle ( — 5, — 3), lorsqu'elle ne passe d'une limite à l'autre qu'en prenant toutes les valeurs négatives dont la valeur absolue est comprise entre 5 et 3. De même, elle est continue dans l'intervalle ( — 2,7), lorsqu'elle prend successivement la valeur — 2, toutes les valeurs comprises entre — 2 et 7, et la valeur 7. Les valeurs intermédiaires sont ici toutes les valeurs négatives de — 2 a o, le nombre o lui-même, et toutes les valeurs positives de o à 7.

457. Il faut maintenant définir la continuité d'une fonction K=F(a;) dans un intervalle {a,b).

Soient x^ et x^ deux, valeurs quelconques de x appartenant à l'intervalle, et h un certain nombre positif tel qu'on ait

Désignons par k un autre nombre positif. La fonction sera continue dans l'intervalle {a, b), si l'on a, en môme temps (lue (i), et en valeur absolue,

458. Remarquons qu'w/ie fonction continue dans l'Intervalle {a, b) est nécessairement finie (453) dans cet intervalle.

On peut, en effet, choisir k arbitrairement et déterminer ensuite la valeur corrélative de h (457); puis, diviser l'intervalle {a, b) en un nombre n d'intervalles partiels, tel que chacun d'eux soit moindre que h. La valeur de la fonction restera alors (454) moindre que F(a)H-/t dans le premier intervalle partiel, moindre que F (a) -+- 2/1 dans le deuxième

38o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

intervalle, ..., moindre que F{a) -h nk dans le «'«me intervalle. Elle sera donc finie dans l'intervalle (a, b) (454).

On voit, en même temps, que l'oscillation de la fonction continue dans chaque intervalle partiel sera au plus égale à k; car, s'il n'en était pas ainsi, on aurait en même temps que cci — a:2<i h, et contre l'hypothèse, Y{x^) — F {x^) > k.

439, Réciproquement, si la fonction Y{x) est finie dans l'intervalle (a, b), elle est continue dans cet intervalle.

En effet, on peut alors diviser l'intervalle (a, b) en n intervalles partiels tels, que dans chacun d'eux l'oscillation de la fonction soit moindre qu'un nombre positif donné k (433). En désignant alors par h un nombre positif moindre que l'étendue du plus petit de ces intervalles partiels, on pourra prendre deux valeurs a;, et .r., de la variable x, appartenant à l'intervalle {a, b) et présentant une différence inférieure à h.

Si ^1 et Xz appartiennent à un même intervalle partiel, on aura nécessairement (453)

en même temps que

Si J?i et x^ appartiennent à deux intervalles partiels contigus, dont l'origine commune réponde à une certaine valeur X de la variable x, on aura

c'est-à-dire

La continuité de la fonction F {x) dans l'intervalle {a, b) est donc établie (437).

» 460. La fonction Y{x) étant continue dans l'intervalle {a, b), si, au lieu de prendre, dans cet intervalle, deux valeurs quelconques ^, et x,, on suppose que la variable x croisse d'une manière continue (436), il est clair que la différence Xi — X.2 tendra vers zéro autant qu'on voudra, en même temps que le nombre positif A qui est simplement une limite supérieure de Xj — X, (457).

D'autre part, le nombre n des intervalles partiels pour cha-

ALGÈBRE SL'PÉIUEUUE. 38 I

CLin desquels l'oscillation de la fonction est moindre que le nombre positif A- (458) tendant alors vers l'infini, tandis que l'oscillation totale de la fonction dans l'intervalle {a, b) est une quantité finie qui a pour limite supérieure nk (i58), le nombre A>F(xi) — V{x^) tendra aussi vers zéro {Alg. élém., 118). On peut donc dire encore que, si une /onction y = V{a.-) est continue dans un intervalle [a, b), elle est continue pour chaque valeur de x appartenant à cet intervalle, en ce sens qu'à un accroissement infiniment petit (336) de la variable x correspond toujours un accroissement infiniment petit de la fonction y, de sorte que, la variable passant d'une certaine valeur à une valeur infiniment voisine, il en est de même de la fonction.

461. Réciproquement, si une fonction y^^Y{x) est continue pour chaque valeur de x appartenant à un intervalle {a, b), dans les conditions qu'on vient d'indiquer (460), elle est continue dans ce même intervalle (457).

Il faut bien comprendi-e d'abord que cette proposition n'est pas évidente et qu'elle a besoin d'être démontrée.

Et, en effet, si la fonction j =: F(^) est continue dans l'intervalle (a, b) pour cliaque valeur de x a|)parlenant à cet intervalle, on peut, en se donnant le nombre positif k, faire correspondre à chaque valeur de x un nombre positif A, kd que l'oscillation de la fonction soit moindre que k dans tout intervalle partiel moindre que h, qui comprend x. Mais on ne peut pas affirmer a />/7o/7 que toutes les valeurs de h ainsi trouvées et qui sont seulement plus grandes que zéro soient supérieures à un certain nombre positif A' : ce qui permettrait de concliu'e immédiatement que, dans tout intervalle partiel moindre que h' compris dans (a, b), l'oscillation de la fonction est moindre que k, et qu'elle est, par suite, continue et finie dans l'intervalle (a, b) (457).

Admettons donc que, de quelque manière que l'intervalle {a,b) ait été divisé en intervalles partiels, l'oscillation de la fonction, dans l'un, au moins, de ces intervalles, soit égale ou supérieure à k. Nous allons montrer que cette supposition entraîne nécessairement la non-continuité ou la discontinuité de la fonction pour une certaine valeur de x appartenant à rinlervalle {a, b). Supposons qu'on divise cet intervalle en lo" pari les égales.

382 ALGÈCIU-: SUPÉRIEUUE.

Les valeurs successives de la variable x, qui correspondront aux exlrémilés des inlervalles partiels obtenus, seront évidemment

io«

A mesure qu'on poursuivra l'opération, c'est-à-dire qu'on fera croître l'entier n, l'étendue d'un intervalle partiel, représentée

par , tendra vers zéro aulant qu on voudra. Il en resuite

que, dans celui où, quel que soit n, l'oscillation de la fonction est supposée égale ou supérieure à k, les deux extrémités se rapprocberont indéfiniment d'une certaine valeur de x comprise dans cet intervalle partiel et pour laquelle, par conséquent, la condition F(^i) — ^{x^) < k ne pourra plus être remplie. La fonction, pour cette valeur spéciale de x, ne serait donc plus continue (io7).

Mais, puisque, par hypoibèse, elle est continue pour toute valeur de x appartenant à l'intervalle («, h), il est impossible d'admettre l'existence d'un certain intervalle partiel où l'oscillation de la fonction serait égale ou supérieure à k. Dans tous, cette oscillation est donc inférieure à â:, et la fonction est continue dans l'intervalle («, h) [io7].

Exemples de fonctions continues dans le cas d'une seule variable.

462. L Toute fonction entière de x est une fonction continue {k\1).

Nous considérerons d'abord la fonction (i) r7=KxP,

p étant un nombre entier et positif, et A un nombre constant. C'est \di fonction simple algébrique dans le cas d'un exposant entier et positif.

Supposons que la variable x, à partir d'une valeur quelconque, reçoive l'accroissement h. La fonction y deviendra

(2) y + k=:ik{x -^ h)i>

et prendra l'accroissement k, qui aura pour expression, en

ALGEBRE SUPERIEURE. 383

retraiicbaiil les équations (i) et (2) et d'après la formule du binôme,

( k — k{x + h)P—kûcP

pxP-^ h + ^—^ xP-^'h^ -\-. . .-\- hP

11 est facile de prouver que chacun des termes du second membre de cette expression peut devenir moindre qu'une (luantité donnée ô aussi petite qu'on voudra, en donnant à h une valeur suffisamment petite.

Posons, en effet, le terme général

i .1.0. . .11 On en déduit

\.p\p — \)\ p — 2 ) . . . (/» — n -\- i)jci

et l'on voit qu'il suffit de donner à l'accroissement A une valeur moindre que la racine «'«"^ du second membre de cette inégalité, pour que le terme général soit plus petit que ô.

Mais, si l'on peut attribuer à h une valeur telle, que chacun des termes de l'accroissement k, dont le nombre est p, soil moindre que ô, l'accroissement k lui-même sera alors inférieur à po.

Par conséquent, pour que cet accroissement soit moindre, à son tour, (|u'une quantité désignée e aussi petite qu'on voudra, on n'a qu'à poser />ô < s et à prendre

Ainsi, lorsque, pour chaque valeur de la variable œ, l'accroissement h assigné à cette variable reçoit une valeur suffisamment petite, l'accroissement /- pris par la fonction y peut devenir lui-même plus petit que toute quantité donnée. La fonction y^ikocP est donc une fonction continue de x (!iGO, 461).

Soit, maintenant, une fonction entière quelconque de x

y = Ao .r'" + Al x"'-> + A2.Î7'"-- + . . . -f- A„,, .r + A,„.

Nous venons d'établir qu'on peut donner à ^ un accroissement

0O4 ALGEBRE SUPEllIEURE.

assez petit pour que l'accroissement correspondant de chacun des m termes variables de la fonction soit moindre que toute quantité donnée. Il en sera donc de même, d'après ce qui précède, de l'accroissement de la somme de ces m termes ou de l'accroissement total de la fonction; ce qui démontre la continuité de toute fonction entière de x.

463. II. La somme algébrique ou le pfoduit de fonctions continues en nombre Jiniest encore une fonction continue.

Considérons, par exemple, la démonstration étant analogue pour les deux cas, le produit de p fonctions continues, telles que

Donnons à la variable x, à partir d'une certaine valeur, un accroissement h. L'accroissement correspondant A- du produit aura pour expression

k — ¥,{x + h)Y,{x + h)¥3{x + h).. .Yp{x H- h) -Y,{x)V,{x)¥,{x)...Yp{x).

Les fonctions proposées étant continues, les facteurs qui composent le premier terme de cette expression tendent indéfiniment, à mesure que h diminue, vers Fi(^), F2(^), '^^{x), . . ., ¥p{x), qui sont alors leurs limites. Comme il y a un nombre fini p de facteurs, la limite de leur produit est égale au produit de leurs limites (343). Il en résulte que le premier terme de la valeur de k s'approchant indéfiniment du second terme de cette valeur, k diminue autant qu'on veut et peut devenir moindre que toute quantité donnée pour h assez petit, ce qui justifie l'énoncé.

464. m. Le quotient de deux fonctions continues est une fonction continue.

Cette proposition est soumise à une restriction (453).

Lorsqu'il y a continuité, la fonction a pour chaque valeur

de la variable une valeur finie et déterminée (438).

¥,(x) Si l'on a comme fonction le quotient pr^ — : ? il ne faut donc

considérer x, au point de vue du théorème à démontrer, que dans un intervalle oii aucune de ses valeurs ne puisse annuler le dénominateur F2(^0; car, pour une pareille valeur, l'exprès-

sion de la fonciion n'aurait plus aucun sens, du moins par elle-même. Dans tous les cas, comme le quotient proposé croît alors sans liinite à mesure que x s'approche delà valeur qui, laissant le numérateur fini, annule le dénominateur, ce quolienf, dans cette hypothèse, ne peut plus être une fonction continue.

Le théorème ne peut donc être vrai que lorsque x se maintient dans un intervalle tel, qu'aucune valeur de x ne puisse annuler le dénominateur F2(^).

Cette condition étant supposée remplie, donnons à ^, à partir d'une certaine valeur, un accroissement h. La fonciion prendra un accroissement correspondant A-, représenté par

Fi(.r+A) Fi(^) F,(^ + A)F.,(x) — Fi(^)F2(.r + /0 ' "~ F, (.c -v-h ) F. {x) " F2 ( X )F2 {x^h)

Or, à mesure que h diminue, le dénominateur de cette ex-

pression s'approche autant qu'on veut de FjC^) , tandis que le numérateur converge évidemment vers zéro, puisque les fonctions données sont continues. Il en résulte que la condi-

tion de continuité est remplie par la fonction -rr^-^^ — f , sous la

réserve de la remarque précédente.

Le théorème subsiste quand le numérateur Fi(a') se réduit à une constante.

i65. IV. Toute racine (V une fonciion continue est une fonction continue , dans tout intervalle où cette racine conserve une valeur réelle (130, 131).

Soit la racine />'^'"^ d'une fonction continue ¥{x), considérée dans un intervalle où cette racine demeure réelle. Donnons à .r, à partit- d'une certaine valeur, un accroissement h. L'accroissement correspondant k pris par la fonction sera

k = \/F{x + li)—''\/¥{^).

Il faut prouver qu'on peut toujours rendre k aussi petit qu'on voudra, en donnant à h une valeur suffisamment petite. Nous emploierons ici la méthode de réduction à l'absurde Géom., 3'i-).

Si k ne satisfaisait pas à la condition indiquée, il resterait supérieur à une quantité désignée à, quelque petit que fût A,

De C. — Cours, [il. 25

de sorte qu'on aurait alors

ou

Or cette inégalité est impossible; car, h tendant vers zéro, la limite du premier membre est F(^), puisque cette fonction est continue, tandis que le second membre est un nombre constant, évidemment supérieur à F(:r).

k peut donc devenir aussi petit qu'on veut pour h assez petit, et la fonction \/F{j:) est continue si elle est réelle.

466. La fonction donnée F(^) peut être une fonction entière de ce ou, ce qui revient au même (302 et suiv.), une pareille fonction élevée à une puissance entière. Il est, par suite, permis de dire qu'une fonction entière de ce élevée à une puissance fractionnaire quelconque est encore une fonction continue, pourvu que la condition indiquée (465) soit remplie.

11 en est de même d'une fonction entière de x élevée à une puissance négative (464).

En résumé, toute fonction entière de x élevée à une puissance quelconque, entière ou fractionnaire, positive ou néga-tive, ne cesse pas d'être une fonction continue, sauf la restriction ci-dessus.

Cas des fonctions de plusieurs variables.

467. Les notions qui précèdent s'étendent aux fondions de plusieurs variables.

Une fonction F{x, y, z), par exemple, peut être regardée comme continue dans un intervalle donné ou entre deux groupes de valeurs connues des variables x,y, z, si elle reste constamment réelle et finie dans cet intervalle, en variant par degrés insensibles, lorsqu'on fait varier x, y, z de la même manière dans les limites assignées.

Ainsi h, k, /désignant les accroissements attribués respectivement à x,y, z, à partir d'un groupe de valeurs simultanées compris dans l'intervalle donné, l'accroissement correspondant de la fonction, représenté par

ALGÈBRE SUPÉUIEUKE. SSt

devra tendre vers zéro k mesure que h, le, / diuiinueronl, si la fonction proposée est continue.

En d'auires termes, dans celte hypothèse, si l'on fait tendre les variables x, y, z vers des valeurs limites a, b, c, la fonction F(^, y, z) devra approcher indéfiniment de V{a, b, c). C'est le principe général de la métliode des limites (3i8).

4G8. Nous croyons utile d'indiquer ici les propositions suivantes : la première se rapporte ànx fonctions de Jonctions ai la seconde 3lu\ fonctions composées {voir Livre V).

4G9. I. ^f j' = F(>r) est une fonction continue de œ dans un certain intervalle, et si u^(f{y) est une fonction continue de y dans cet intervalle, u est une fonction continue de x dans le même intervalle.

Car, si l'on donne à x, à partir d'une certaine valeur appartenant à l'intervalle considéré, un accroissement infiniment petit, r prendra à son tour un accroissement infiniment petit, de sorte qu'il en sera de même de u. Par conséquent, lorsque a; prend un accroissement infiniment petit dans les limites assignées, u prend aussi un accroissement infiniment petit. Dans ces limites, u est donc une fonction continue de x,

470. II. u et V étant des fonctions continues de x dans un intervalle donné, si F(;/, r) est une fonction continue de u et de V dans le même intervalle, F(«, v) est, dans cet intervalle, une fonction continue de x.

Car, si l'on donne à ^, à partir d'une certaine valeur prise dans l'intervalle considéré, un accroissement h, u et v j)rendront à leur tour les accroissements respectifs a et (3 et deviendront « -t- a et p + (3. L'accroissement correspondant de la fonction F(w, v) sera alors

En vertu de la continuité supposée et pour h assez petit, a et j3 tendront vers zéro autant qu'on voudra. Il en sera donc de même de l'accroissement de la fonction F(«, v). Par conséquent, lorsque x prend un accroissement infiniment petit dans les limites assignées, F(/<, <^) prend aussi un accroissement infiniment petit et est une fonction continue de x dans les mêmes limites.

'{-71. Si l'on voulait meltre en évidence Ja part de chaque a'.ci'oisseuient de u et de v dans l'accroissement total de ¥{u, v), on écrirait cet accroissement (i70) comme il suit :

En faisant varier seulement u, on a, en effet, comme premier accroissement de la fonction F(;/, v),

puis, en faisant varier v à son tour dans le prenier résultat Y[u-\- c/.y v), on a, comme nouvel accroissement de la fonction,

F(a + oc, p-i-;3) — F(?/ + a, (')•

La somme des deux différences obtenues, dont la première s'annuie pour a =: o et la seconde [iour [3 = 0, est l'accroissement total de F(«, v), nul pour a = o et [3 = o.

Discontinuité.

472. En s'aidant du mode de représentation graphique, dont nous avons déjà donné un aperçu succinct en Algèbre élémentaire {Alg. élém., 312 et suiv.), on prend une idée très nette de la continuité d'une fonction dans un certain intervalle, aussi bien que des particularités qui peuvent se présenter et interrompre cette continuité, comme nous l'avi ns vu en traitant quelques exemples choisis (Al^^. élém., 31i à 321). On dit alors que la fonction est discontinue.

Ainsi, pour une certaine valeur attribuée kx, les opéra! ions par lesquelles on doit en déduire la valeur correspondante de la fonction peuvent conduire à des résultats n'ayant par eux-

mêmes aucun sens, comme — ou ce, -, o.cc, .... 11 laut, dans

ce cas, faire tendre ce indéfiniment vers l'une des valeurs

qui entraînent ces résultats et chercher vers quelle limite

converge la valeur simultanée de la fonction. Si celte limite

existe ou est susceptible d'interprétation, elle fait connaître

la valeur de la fonction pour la valeur spéciale de ce qu'on a

consi'dérée.

Si l'on trouvait deux limites différentes de la fonction,

comme ± GO, par exemple {Al^^. élém., loco cit.), pour une

ALGÈBRE SUPÉRIELTiE. 889

valeur jr = ^i, la fonction s'ai)procherait indéfiniment de l'une ou de l'autre de ces deux limites, à mesure que la variable x tendrait vers x^, en restant constamment plus grande ou plus petite que celte valeur x^.

473. Nous terminerons ces notions en citant encore un cas où il y a, pour ainsi parler, à la fois continuité et discontinuité. C'est celui où la fonction admet régulièrement plusieurs valeurs pour chaque valeur assignée à la variable dans un certain intervalle.

C'est ce qui a lieu, par exemple, en général, pour une fonction algébrique F(jc, 7):=o (446), où r entre à un degré supérieur au premier (449, 450).

La fonction est alors dite -a détermination multiple.

Il faut, dans celte hypothèse, pour étudier la continuité réelle de la fonction, isoler les différents systèmes de valeurs ainsi associés, c'est-à-dire ne joindre à la valeur de x qu'une seule des valeurs correspondantes de y.

Les remarques que nous venons de faire sur la discontinuité et que la Géométrie analytique (t. V) mettra dans tout leur jour s'appliquent à plus forle raison aux fonctions de plusieurs variables.