CHAPITRE II

ETUDE DE LA FONCTION EXPONEiNTIELLE.

Définitions et théorèmes préliminaires.

Exposants incommensurables.

4-74. Quand la variable est en exposant, la fonction est dite exponentielle.

Nous allons l'étudier sous sa forme la plus simple

Nous supposons que a est un nombre donné positif , et que la variable x peut parcourir toute l'échelle des grandeurs réelles, de — 00 à +00 {Alg. élém,, 218).

4-75. Quand x est commensurable , l'expression a^ a un sens parfaitement déterminé.

Le cas de x entier ne présente aucune difficulté (128).

c^ . rn , , . . .„

Soit X = — j m et n étant des entiers positils. n

On a alors, par définition (iiO),

Comme a est positif, si l'on convient de ne considérer que les valeurs arithmétiques des radicaux (131), a'"- aura une^ valeur positive, et il en sera de même de s/a"\ C'est cette seule valeur que nous conserverons. Il ne peut donc y avoir aucune ambiguïté.

Soit, enfin, x =^ — p, p étant un nombre entier positif ou un nombre fractionnaire à termes positifs. On a, dans ce cas,

par définition (l4o),

et aP ayant, d'après ce qn'on vient de dire, une seule valeur positive, la valeur de a^ est encore parfaitement déterminée.

476. Avant d'aller plus loin, remarquons qu'il est nécessaire de supposer a positif .

Si ce nombre constant était, en effet, négatif, «'" serait négatif pour m impair, et '{/«^aurait alors une valeur imaginaire pour toute valeur paire de n (130, 2"). En faisant varier la valeur commensurable de œ d'une manière quelconque, la fonction a^ pourrait donc être alternativement réelle et imaginaire, et nous ne voulons l'étudier ici que dans ses valeurs réelles et même positives.

477. Il nous reste à examiner l'hypothèse de x incommensurable. Que signifie, dans ce cas, l'expression a^ et quelle interprétation doit-elle recevoir?

Quand œ est un nombre incommensurable, on regarde a^ comme la limite des valeurs déterminées qu'on obtient en remplaçant X par des valeurs commensurables de plus en plus approchées (116 et suiv.)

Pour justifier cette définition, il faut prouver que la limite indiquée existe et qu'elle ne dépend pas de la manière dont on fait tendre les valeurs commensurables auxiliaires vers leur limite x.

Nous y parviendrons à l'aide des théorèmes suivants, d'ailleurs très utiles à connaître en dehors même de la question que nous traitons.

478. I. Les puissances entières successives d'un nombre positif plus grand que i, toujours supérieures à i, vont constamment en croissant et peuvent surpasser toute quantité donnée.

Les puissances entières successives d'un nombre positif plu? petit que I, toujours inférieures à i, vont constamment en diminuant et ont zéro pour limite {Alg. élém., 336).

Au lieu de s'appuyer sur les propriétés des progressions,

3g'l ALGÈBRE SL'1»É!-,1EURE.

on peut d'ailleurs démontrer directement celte importante

proposition en faisant intervenir la formule du binôme {'■loi).

En effet, a étant une quantité positive, tout nombre positif

plus grand que i peut être représenté par i + a et tout

nombre positif plus petit que i, par — La formule du

binôme donnant

TU {m — I ) .

(i -H «)'"=: i-^ my.-\ î: a--t-. . .,

on a alors, évidemment,

(i + 0^)'''-^» >(i + a)'" et (i -H a)'" >n-/??a;

{Tur<{Th)

et

En faisant croître indéfiniment l'entier m, ces inégalités justifient l'énoncé.

479. II. Les racines successives d'un nonibie positif plus grand que i vont constamment en diminuant et ont l'unité pour limite inférieure.

Les racines successives d'un nombre positif plus petit que i vo?it constamment en augmentant et ont l'unité pour limite supérieure.

i" Soit « >- 1.

Toute racine de a sera plus grande que i; car il n'y a qu'un nombre plus grand que i, qui, élevé à une certaine puissance entière, puisse donner un nombre plus grand que i (478 j.

Cela posé, on a (138, 135)

On en déduit

ni — >ii{in+i^i r

•ni —

\a iinm-k-\

va = V/

c'esl-à-dire

Désignons maintenant par o une quantité positive aussi

ALGÈBRE STJl'ÉRlKUr.E. 3()'i

petite qu'on voudra, et posons

il en résulte (/l/^'. éléin., 217)

Celte inégalité sera satisfaite a fortiori (478) si l'on a

Il suffit donc de prendre

pour que la racine m'è°"= de a, toujours supérieure à i, diffère de I d'une (juantité inférieure à ô.

2° Soit a <C I .

Toute racine de a sera plus petite que i; car il n'y a qu'un nombre plus petit que i qui, élevé à une certaine puissance entière, puisse donner un nombre plus petit que i (478).

Cela posé et en suivant la même marche, on trouve comme précédemment (i")

m/ — V<7 mirn+i)/—

y/a c'est-à-dire

Remarquons mainlenant que, a étant moindre que i, on peut poser, en désignant par a une quantité positive quelconque (478),

11 en résulte (128, 129)

Sja =

fil i~ V'

Or, i + a étant supérieur à i, on peut prendre m assez grand pour que "(/i + a, supérieure à i, diffère de i d'aussi peu qu'on voudra (i°). Il en sera donc alors de même de \/a, toujours inférieure à i.

480. II[. Si a est plus grand que i, ses puissances positives sont plus grandes que i, et ses puissances négatives sont plus petites. C'est l'inverse, lorsque a est moindre que r.

Soit a >- 1.

On a (47i);

et

a" = '(/rt^> I

ai> '

puisque aP est plus grand que i (i78). Soit a <ii.

On a (479)

a-P=^, >i, aP

puisque aP est plus petit que i (478).

481. IV. Quand on donne à l'exposant x des valeurs cornmensurables croissantes, la fonction a^ varie toujours dans le même sens, en augmentant quand a est plus grand que i, en diminuant quand a est plus petit que i.

Soit a'^ i et q > p- Nous aurons (480)

c'est-à-Jire

Soit a <Ci et q';> p.

Nous aurons (480)

c'est-à-dire

al

aP '

al > aP.

al -^-ai-P<.,

ai<aP.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SqS

482 V. La foxction exponentielle simple j= a^ est une fonction coNTiNLE (i57, 4G0, 4G1).

[I faut démontrer que si, à partir d'une valeur comniensurable quelconque, la variable 2? croît d'une quantité commensurable A, la fonction y croît ou décroît d'une quantité k, qui lend vers zéro en même temps que h.

Les deux valeurs de la fonction étant

a"" et «■^ •<-'',

l'accroissement k a pour expression, dans le cas de «>i

et, dans le cas de a < i (481),

Mais h, étant commensurable, peut toujours se mettre sous

la forme -• On a alors

a''-—aJ'='sla.

Pour faire tendre h vers zéro, il suffit de faire croître p indéfiniment. Dans celte hypothèse, y'atend autant qu'on veut vers l'unité (479), en restant supérieure à i et en décroissant quand a est plus grand que i, en restant inférieure à i et en croissant quand a est plus petit que i.

a^ ayant une valeur déterminée, k tend donc toujours vers zéro en même temps que h, et la proposition est démontrée.

483. Nous pouvons maintenant définir rigoureusement la valeur de a-^, lorsque l'exposant a? est inco.umensurable, en supposant d'abord a >• i .

a^ est, dans ce cas (481), un nombre plus grand que ceux qu'on obtient en remplaçant x par des valeurs commensurables plus petites, et un nombre plus petit que ceux qu'on obtient en remplaçant x par des valeurs commensurables plus grandes.

A mesure qu'on resserre les deux suites de nombres commensurables, en faisant croître, d'une manière quelconque, les valeurs commensurables plus petites que x et en faisant décroître, de même, les valeurs commensurables plus grandes.

3g6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

on approche autant qu'on veut, pour ces deux suites, d' une limite commune et déterminée, qui est la valeur de la fonction a^ pour la valeur incommensurable de x que l'on considère.

En effet, si l'on donne à x des valeurs commensurables croissantes, plus petites que la valeur incommensurable dont il s'agit, on forme une suite de nombres que nous désignerons par (S) et qui vont en croissant (i8l)tout en restant plus petits que a^. D'autre part, si l'on donne à x des valeurs commensurables décroissantes , plus grandes que cette même valeur incommensurable, on forme une autre suite de nombres (S'), qui vont en décroissant (481) tout en restant plus grands que a^.

Les nomljres (S), élant plus petits qu'un nombre quelconque de la suite (S'), augmentent en s'approchanl d'une certaine limite. Les nombres (S'), étant plus grands qu'un nombre quelconque de la suite (S), diminuent en s'approchant d'une certaine limite. Les deux limites sont d'ailleurs les mêmes; car, si met m' appartiennent respectivement aux deux séries d'exposants commensurables, les puissances a'" et a'"' appartiennent aussi respectivement aux suites (S) et (S'); et leur

différence

^m- a'" — { a'"' — rt^ ) + ( a^ — a'" )

peut être rendue aussi petite qu'on veut en rapprochant m et m' qui, par hypothèse, convergent vers x, puisque la fonction a^ est une fonction continue (i82).

484. Nous venons de définir (483) a^, pour x incommensurable, dans le cas de a > i.

Si a est plus petit que i, on peut toujours le ramener à la

forme

a' étant plus grand que i. On a alors

el, comme a'^ est défini, a^ le sera par cette formule même.

485. Il est évident, d'après ce qui précède (483), que toutes

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Soy

les règles démontrées pour les exposants comnriensurables s'appliquent sans changement aux exposants incommensurai)les.

Supposons qu'on ait, par exemple, à multiplier a^' par ay, X et r étant des nombres incommensurables. On a nécessairement (150)

a"" cû' — a^'-^r .

On peut, en effet, considérer les deux suites indéfinies de nombres incommensurables, croissants ou décroissants (IIG et suiv.),

^\i "^2> «^a» • • •» "^/îj • • •?

j'i> ji') j'sj •••> y m •••>

dont X et y représentent respectivement les limites. Si l'on Ibrme en même temps la suite

la limite d'une somme étant égale à la somme des limit' s des parties (342), cette nouvelle suite indéfinie aura pour limite x^y.

Il en résulte que les trois suites

«ar.+r, a-^.+r., «-^3-73, ..., a'^,.+r„, ...

auront pour limites respectives a^, cû', a^'^y et, comme on a constamment, et quel que soit n,

a^'i ciYn =r a^n'^y» ,

et que la limite d'un produit est égale au produit des limites des facteurs (3V3), on aura aussi (334)

a^ay=a''+y.

Les autres règles connues s'ensuivroht ou se démontreront de la même manière.

En d'autres termes, tout ce ([ui aura lieu pour des exposants commensurables s'étendra toujours au cas où ces exposants deviendraient incommensurables.

Propriété caractéristique de la fonction exponentielle.

486. Proposons-nous de troui-er la forme la plus générale de la fonction f, telle qu'on ait, pour toutes les valeurs réelles de X et de y,

La ronclion exponentielle satisfait à cet te condition, puisque, comme nous venons de le monder (485), on a toujours

Il faut prouver qu'aucune autre fonction continue ne jouit de cette propriété qui caractérise, par suite, la fonction expo nentielle.

D'abord, si une fonction/ satisfait à la relation (i), quels

que soient x et y, elle y satisfera encore quand on remplacera