X ., , à la fois X et j' par -5 d ou

11 en résulte que la fonction / doit être positive, quel que soit X.

De même, si une lonclion/ satisfait à la relation (i), quels que soient .r et r, elle y satisfera encore en supposant y égal à un muiliple quelconque de x, c'est-à-dire

y^=ix, 2X, 3x, ..., mx, ...; d'oi^i, successivement,

ou

f{x)f[{m-i)x]=f{mx)

ou

[f{œ)]"'=f{mx),

Ainsi, toute fonction /qui satisfait à la relation (i) satisfait aussi à la relation

[f{x)]'"=f{mx).

Nous allons étendre celle relalion (2) à toutes les valeurs réelles de m, qu'elles soient fractionnaires au lieu d'être entières, ou négatives au lieu d'être positives.

La relation (2) indique que la fonction /se trouve élevée à la |)uissance m, quand la valeur arbitraire de la variable x est multipliée par m.

Il en résulte qu'en divisant, au contraire, la variable par un

nombre entier m, on obtient la racine /?«»'^'"° de la fonction;

ce car, si l'on part de la valeur — de la variable et de la valeur

correspondante/ f — | de la fonction, on n'a qu'à multi[)lier

— par m pour obtenir la puissance /w'^^'^ de /( — 1 Or, on trouve alors œ pour la variable; on doit donc trouver f{x) pour la puissance /?t'«'"« de/( — |> c'est-à-dire que/[ — | est précisément la racine m'^^^ de/(^). On peut donc écrire

C'est la détermination arithmétique qu'il faut prendre pour '\/f{oo) et il n'y a qu'une seule valeur à considérer, puisque,

d'après ce qui précède, /( — ) doit être positive aussi bien

que/(^).

On peut maintenant multiplier la variable o^ par un nombre

commensurable quelconque -•

En eflet, en prenant pour point de départ la relation (3) sous la forme

on a, en multipliant la variable — par l'entier/:» et en élevant en même temps la fonction [f{oc)^'^ à la puissance yj,

La fonction cherchée doit donc satisfaire à la relation (2 quel que soit œ, et pour toutes les valeurs commensurabies

4oo

ALGEBRE SCn.MEUr.E.

positives de m-, par conséquent, aussi, pour toutes les valeurs incommensurables positives de m, d'après la théorie générale des limites (348); car, si m^, m,, m^, ..., in„, ... forment une suite de nombres commensurables a^ant pour limite le nombre incommensurable m, on aura, quel que soit l'indice choisi,

Lorsque n augmente indéfiniment, /??„ tend vers m par hypothèse et, en vertu de la continuité de la fonction exponentielle simple (482), a; ayant une valeur déterminée, [/(-a?)]'"» tend vers [/(-s?)]'"; d'autre part, An„^ tend vers m^ et, la fonction cherchée étant supposée continue, f{m,,œ) tend en même temps \evs /{ma-).

Ainsi, quelle que soit la valeur positive de m, on a

Il reste à considérer les valeurs nét^atives de m.

Si l'on remplace, dans la relation (i), y par — j?, on a

Pour connaître /(o), nous ferons y =o dans la relation (i),

d'où

c'est-à-dire Il en résulte

Posons maintenant, rii' étant un nombre positif que'conque,

Nous aurons d'après la relation (4), puisqu'on peut multiplier la variable par un nombre positif quelconque,

Mais, d'après la relation (2), f{ni'x) n'est autre chose que [f{x)'\'."\ Par suite,

ALGÈBRE SUrÉRIEURE. /\0 \

ce qui revient à

La relation (2) se trouve ainsi complètement généralisée.

Nous arrivons donc à ce résultat : toute fonction satisfaisant à la relation (i), quelles que soient les valeurs réelles de a; et de j, satisfait à la relation (2), quelles que soient les valeurs réelles de ûs et de m. On a donc le droit d'échanger ^ et m dans cette relation (2). Comme son premier membre demeure alors identique à lui-même, on a

(5) /imjr) = [/{a^)r=[f(m)]-.

Si, en s'appuyant sur la relation (3), on extrait la racine m'^™^ des deux termes extrêmes de la relation (5), il vient enfin

Il s'ensuit que la fonction /(^) ne peut être que la puissance a- d'une quantité indépendante de ^, cette quantité indépendante étant une constante positive. Si on la désigne par a, on retrouve

La substitution de la relation (2) à la relation (r) n'a introduit d'ailleurs aucune solution étrangère; car, si l'on remplace, dans la relation {i),f{x) par«-^,/(K) par a"*', f{x-^y) par a^-^^, cette relation est salislailc identiquement, quelle que soit la constante positive a.

L'exponentielle a^ est donc la fonction la plus générale répondant à la condition imposée.

Remarquons que, si l'on fait m -=1 dans la relation (6), on trouve

Cette constante est, par suite, la valeur de la fonction pour Limite de — -, quand x croit indéfiniment.

Cl'"'