XX

Comme x — i croît, en même temps que x, au delà de

toute limite, on voit que — va constamment en augmentant

à mesure qu'on fait croître x, supposé entier et positif, et que, pour a; = oo, on a

lim — — 00.

Si l'on veut, par exemple, avoir — >K,

il suffit de satisfaire à l'inégalité

ALGÈBRE SUPÉRIEUUE. 4o3

c'est-à-dire, a étant « — i, de donner à x une valeur entière égale ou supérieure à

{a-if

Nous avons supposé x entier et positif; admettons qu'il devienne fractionnaire ou incommensurable, en restant positif.

Dans cette hypothèse, x croissant tombera toujours, à un instant quelconque, entre deux entiers consécutifs p ^\ p -\- 1, qui croîtront en même temps que lui.

Mais, si l'on a

on a aussi, nécessairement (485),

aP < ce= < r//'+i

et, a fortiori,

ce qu'on peut écrire

I aP-^^ a^ aP < — <« — •

p étant entier et croissant indéfiniment, les deux quantités extrêmes croîtront sans limites, comme on vient de l'établir. II en sera donc de même de la quantité intermédiaire.

2° Soit <7 < I.

A mesure que x augmente, a" diminue indéfiniment et a pour limite zéro (478, 485). Il en est donc de même, a for-

tiori, du rapport

Étude des variations de la fonction a^.

488. Nous allons chercher la série des valeurs prises par la fonction continue j = a^, quand on fait parcourir à la variable X toute l'échelle des grandeurs réelles, depuis — oo jusqu'à 4-co.

4o4 ALGÈBRE SLPÉRIECRE.

1° Soit a >> I.

On sait que la fonction reste positive et va constamment en croissant avec la variable (iTS, 481, 485). Pour ^ = —00, on a, évidemment,

lim y = lima""" =: lira- — = o.

Pour a; = o, on a {Alg. élém., 42)

Pour a: = + ce, on a

lim y = lim r/* = ce.

/ croissant constamment avec x, chaque valeur le la fonction ne se présente qu'une fois. Lorsque la variable parcourt toute l'échelle des grandeurs réelles, la fonction parcourt toute l'échelle des grandeurs positives. Lo:sque la variable varie de — oc à o, c'est-à-dire reste négative, la fonction prend toutes les valeurs positives de o à i ou moindres que i; et, lorsque la variable varie de o à + ce, c'est-à-dire reste poùtive, la fonction prend toutes les \alcurs positives de i à ce ou plus g 7' an des que i,

2° Soit a < I . ■

Ou sait que la fonction reste positive et va constamment en diminuant, à mesure que la variable croît (478, 481, 485). Pour ^ = — 00, on a, évidemment,

lim/

iim«-'=

= lim