CHAPITRE III
THÉORIE DES LOGARITHMES CONSIDÉRÉS COxMME EXPOSANTS.
Définition des logarithmes algébriques.
490. Nous avons déjà présenté, avec le plus grand soin et avec tous les détails nécessaires pour l'application, la théorie élémentaire des logarithmes {Al°^. élém., Livre IV, Chap. II). Nous avons alors pris, pour fondement de notre théorie, le point de vue même de l'inventeur ( Neper), c'est-à-dire la comparaison facile à établirentre une progression par quotient et une progression par différence où se correspondent les termes I et o.
En nous servant des propriétés de la fonction exponentielle, nous pouvons adopter une nouvelle définition qui offre de grands avantages.
491. Celle définition est la suivante : le logarithme d'un nombre est iexposant de la puissance à laquelle il faut élever un nombre constant et positif, appelé ^kse, pour reproduire le nombre donné.
Si la base est a et si 6 représente le nombre donné, le logaiilhme jc de ce nombre sera déterminé par l'équation {Alg. élém., 374)
a.^ ^ b, et l'on écrira
ce qu'on doit lire : ce égale le logarithme de b, lorsque la base choisie est a.
11 résulte immédiatement de l'étude que nous venons de faire (488, 489) des variations de la fonction exponentielle a^
4o8 ALchuUE SUPÉraEURE.
que tous les nombres positifs ont des logarithmes positifs ou négatifs, tandis que les nombres négatifs n'en ont pas, ou plutôt n'en ont pas de réels.
Si a est '> 1, ce sont les nombres plus grands que i gui ont des logarithmes positifs, et les nombres plus petits que i, des logarithmes négatifs. C'est l'inverse lorsque a est <ii.
Quand a est >>i, les logarithmes croissent en même temps que les nombres correspondants. C'est l'inverse quand a est ■< I, les plus grands nombres ayant alors les plus petits logarithmes.
Pour chaque valeur de la variable x, la fonction a^ n'a qu'une seule valeur. Donc, lorsque deux nombres sont égaux, leurs logarithmes le sont aussi, et réciproquement.
W2. L'ensemble des logarithmes des différents nombres j)0sitifs pris dans une certaine base constitue un système de logarithmes.
Quand la base change, tous les logarithmes changent.
Il y a donc une infinité de systèmes de logarithmes, distingués entre eux par leur base; mais tous jouissent de propriétés générales fort importantes, que nous connaissons déjà, et que nous allons démontrer en faisant usage de la nouvelle définition adoptée.
Propriétés générales des logarithmes algébriques.
WS. I. Le logarithme d'un produit de plusieurs fadeurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.
La base étant a, supposons
a^ = b, c'est-à-dire x =\ogab,
a""" = b', n x' = log« b',
a^'=b", » x"=[ogab".
Multiplions membre à membre les premières égalités. Nous aurons (485, 150)
ou
