GO
c'est-à-dire »
X = lop:a ^= r, X r=. iog I ^o.
lo.uo
, , \ suivant nue a
suivant que a est>i ou <i, suivant que a ( est>i ou<i.
497. On donne aux logarithmes, tels que nous les avons considérés en Algèbre élémentaire, le nom de logarithmes arithmétiques, pour les distinguer des logarithmes algébriques.
On voit que les propriétés des logarithmes arithmétiques et des logarithmes algébriques sont absolument les mêmes.
On se servira donc des logarithmes algébriques comme des logarithmes arithmétiques, pour simplifier les opérations numériques, en ramenant les opérations les plus compliquées aux opérations les plus simples, comme il a été indiqué précédemment {Alg. élém., 3oo).
Il suffit, pour cela, de construire des Tables, dites Tables de logarithmes. Nous sommes entré, au sujet de la construction et de l'usage des Tables, dans les détails les plus circonstanciés (voir Alg. élém., 358 à 374, et Trigonom., 119 à 136). Nous y renverrons donc le lecteur.
Nous démontrerons seulement ici la parfaite identité, non seulenient quant aux propriétés, mais en eux-mêmes, des logarithmes arithmétiques et des logarithmes algébriques. Les
mêmes Tables peuvent ainsi servir, quel que soit le point de vue adopté.
Identité des logarithmes arithmétiques et des logarithmes algébriques.
498. I. Partons d'abord du point de vue arithmétique et considérons deux progressions, l'une par quotient, l'autre par différence, où se correspondent les termes i et o. Les nombres inscrits dans la progression par quotient ont alors pour logarillimes les termes correspondants de la progression par différence.
Ainsi, les deux progressions étant
vh i '. q '. q' \ q^ '. ■ • ■ '. q"^ I . . . , ;0./'.2r.3r. ... .mr . . . . ,
la définition élémentaire {Alg. élém., 347) donne pour logarithme, au nombre q'"^ de la progression par quotient, le terme correspondant mr de la progression par différence. Posons
(i) mr — y.
Nous aurons, arithmétiquement parlant,
(2) log^'" = 7.
Mais, de (i), on déduit m =z ^, et l'on a, par suite,
q'''=qr=[qr) ,
On voit par là que, y étant le logarithme arithmétique
de q"\ il faut, pour reproduire q'"^, élever précisément le
nombre constant q'' à la puissance y.
Il y a par suite identité entre les logarithmes arithmétiques et les logarithmes algébriques (491).
La base du système se reconnaît, dans les deux cas (496 et Alg. élém., 356), à ce que son logarithme est égal à l'unité.
Ici, q'' est la base du système des logarithmes arithmétiques, comme elle est celle du système des logarithmes algébriques;
4l2 ALGÈBRE StPÉRIEURE.
car, au point de vue arithmétique, le logarithme de q' est
499. IL Parlons maintenant du point de vue algébrique. On peut toujours considérer des nombres en progression par fiuolient tels, que
'vz a', aq \ aq^ \ aq^ '...'. aq'
Les logarithmes algébriques de ces nombres forment évidemment (493, 495) une progression arithmétique correspondante
7 loga.(loga -h logi5r).(loga -i- 2 log^).(loga 4- 3 log^) (loga + m log^)
Quand des nombres forment une progression par quotient, leurs logarithmes algébriques forment donc une progression par dllférence.
Si Ton suppose log^ := /• et a = i, c'est-à-dire loga ^ o, les deux progressions deviennent
•t\ \'.q:q-\q^: ... '.q"". ■■., ï O . r . 2r. 3r nir . . . . ,
et l'on est ramené complètement à la définition des logarithmes arithmétiques (498).
// r a par suite identité réciproque entre les logarithmes algébriques et les logarithmes arithmétiques.
Des différents systèmes de logarithmes.
500. Théorème fondamental. — Le rapport des logarithmes d'un même nombre reste constant, lorsqu'on passe, en faisant varier la base, d'un système de logarithmes à un autre.
Il résulte de cette remarquable propriété que, une Table de logarithmes étant construite dans un certain système, on obtiendra la Table répondant à tout autre système, en multipliant simplement les logarithmes insérés dans la première Table par un facteur constant.
Soient deux systèmes de logaritlimes, le premier rapporté à la base a, le second à la base A. Considérons un même nombre b, et désignons par x et par x' ses logarithmes dans les deux systèmes. Nous aurons, par définition (491),
a^^=zb et A^'^ b, c'est-à-dire
Prenons les logarithmes des deux membres de cette égalité, d'abord dans le système dont la base est a, ensuite dans le système dont la base est A, en nous rappelant que, dans tout système, le logarithme de la base est i (496). Il viendra (495)
^log^a = j:--' log,j A ou ^^^'logjA,
a: log^a = a;' logAA ou ^IogA<^ = '^'.
On en déduit
— = \ ou — = loirv'^.
X logaA X
Ainsi, le rapport des deux logarithmes x' et x demeure bien constant, quel que soit le nombre considéré b.
Ce rapport constant est appelé le modale relatif du système k par rapport au système a. C'est le nombre par lequel il faut multiplier tous les logarithmes du système a, regardé comme ancien système, pour avoir tous les logarithmes du système A, regardé comme nouveau système.
En résumé, le module relatif a pour expression l'inverse du logarithme de la nouvelle base pris dans l'ancien système ou le logarithme de l'ancienne base pris dans le nouveau système. L'expression pratique est, évidemment, la première.
On représente, en général, par M le module relatif. Nous aurons donc ici, pour les bases a et A,
M = -, == \ozxa.
log.A
On voit que, si l'on connaît A, on peut déduire immédiatement le système A du système a. La base d'un système suffit donc pour le définir.
501. Il est facile de vérifier, a posteriori, l'idenlité qu'on vient d'obtenir, c'est-à-dire
logA« ou logAûr.logaA = j.
lOga A
Posons, en effet,
logA« = r, \ç>Za^ — z,
II faut prouver qu'on a v^ := i.
La première égalité signifie que, pour avoir a, il faut élever la base A du second système à la puissance / (i'Ol). On a donc
La seconde égalité revient de même à
En élevant à la puissance y les deux membres de cette dernière relation, on trouve
ay~=ky=a, c'est-à-dire, nécessairement, j- =: i (496).
502. Soient les deux nombres quelconques N et N'. D'après ce qu'on vient de démontrer (500), on a, en prenant leurs logarithmes dans les systèmes de base a et de base A,
log^N logaN'
relation qu'on peut écrire {Alg. éléni., G7)
loggN lOgA^ logaN' ~~ logAN'*
Le rapport des logarithmes de deux nombres quelconques reste donc constant, quand on passe d'un système à un autre.
C'est une autre forme du théorème fondamental établi au n° 500 {Alg. élém., 357).
ALGÈBRE SUPÉPiIEURE. /\l5
Des logarithmes népériens ou hyperboliques.
503. Le premier système f|Lii fut employé par Neper a reçu le iioni de syslcnie naturel ou, mieux, de système népérien.
On lui donne encore le nom de système hyperbolique, à cause du ra|)port intime qui existe entre les logarithmes correspondanls et la mesure des aires hyperboliques (voir Géom. anal., t. V).
Nkpkh, en considérant les logarithmes arithmétiques, parlait de ces deux progressions {Alg. élém., Si^T el suiv.) :
Pour introduire autant de nombres que possible dans la progression par quotient, il faisait tendre a vers zéro, et il en était alors de même de (3; car, si (i + a) a pour logarithme {3 dans un certain système de base i)lus grande que i et si I 4- a diminue, il en esl de même de (3 (iSl ). Mais, quelque petits que soient les accroissements simultanés a et (3 des termes i et o à l'origine, on conçoit qu'on puisse néanmoins établir entre eux un certain rapport, d'ailleurs complètement arbitraire, el poser
[}. sera le module du système de logarithmes constitué par les deux progressions considérées; et, en faisant varier p., on fera varier ce système lui-même.
Nepek choisit la relation la plus simple, en prenant |3 == a ou le modale [x égal à i.
Son système de logarithmes se trouva ainsi représenté par les deux progressions
\ o . Cf. . 2 a . 3 a m y.
50V. Cherchons, d'après cela, la hase du système des logarithmes népériens.
Celle base est le nombre qui a pour logarithme l'unité.
4l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Si l'on suppose que l'unité fasse partie de la progression par différence (303), la réponse est immédiate. Soit
niy.zzzi, d ou m ^ -•
La ijase sera
(i -h 2()"S c'est-à-dire (r-ha)'-'.
Mais, d'après ce qui précède (303), y. doit être regardé comme une quantité qui tend indéfiniment vers zéro. Par suite, la hase du système népérien tend autant quon veut
vers la limite de (i -i- y.y pour a r=- o, c'est-à-dire ( ilG) vers le nombre e.
Si l'on suppose que l'unité ne fasse pas partie de la progression par différence (303), elle tombera du moins entre deux termes consécutifs de cette progression, et l'on aura, par
exemple,
En désignant par x la base du système des logarithmes népériens, on aura en même temps (iSl)
Mais, d'après les premières inégalités, on a alors
c'est-à-dire a fortiori, en revenant aux secondes inégalités,
\ /n-i-l H 1 <JC<, '
Or, pour faire tendre y vers zéro, il faut évidemment faire tendre jn vers l'infini; et, alors, comme on l'a vu précédemment (4-13), les deux quantités qui comprennent x ont pour limite commune le nombre e.
On parvient donc au même résultat.
303. On indique, en général, les logarithmes népériens par la notation L ou /; et les logarithmes vulgaires, dont la base est 10 {Alg. élém., 338), par la notation log
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ^\n
500. On peut facilement passer des logarithmes népériens aux logarithmes vulgaires, et réciproq uemenl .
Le modale relatif M, qui permet le premier passage, a pour valeur (500)
M = |-^ = loge — 0,434294481903251
Le module relatif My, qui permet au contraire de revenir des logarillmies vulgaires aux logarithmes népériens, a pour valeur
Ainsi,
de ^N = k, on déduit logN = k losre
et,
de logNi= kl on déduit /N, = — ---.
lo.ue
Fonction logarithmique.
