Si l'on considère la lonciion exponentielle

a; = ay,

011 X et a sont des nombres positifs et 011 j peut être posilif ou négatif (488, 489), et si l'on prend les logarithmes des deux membres dans le système dont la base est a, en se souvenant que le logarithme de la base est toujours i (496), on a

7 = loga^.

y est \di fonction logarithmique, inverse de la fonction exponentielle X (4V1, hW\).

508. Pour étudier les variations de la fonction logùrilbmiquc, on distinguera toujours les deux cas de a>i et de a <! I.

I "* Soit a^ 1.

y étant le logarithme du nombre x, on sait que la fonction y et la variable x croissent simultanément (491). En se reportant à l'étude des variations de la fonction exponentielle et en De C. — Cours, m. 27

4l8 ALGÈBUE SUPÉraEURE.

faisant varier la variable ^ de o à + oo, on a (488, i89, i96)

Pour ^ = o, y^zlogo = — oc;

Pour.rr=i, }'^logi =o;

Pour ^ = 00, / =1 logoo =:+ oc.

2° Soit a ■< I .

Dans cette hypothèse, la fonclion j diminue quand la variable a; augmente (491). On a

Pour.X'=zO, J zz: logo zzz-\- oc;

Pour.r^i, j = log I =o;

Pour .r=: ce, >'z=logcorz.- — oc.

509. Cette discussion peut être résumée dans le Tableau suivant et représentée par un tracé graphique correspondant (y?-. 2).

(7=rlog„^.)

croît

ÏO

croît

-1- oc

croît

décroît

o décroît

Fis- 2.

Une remarque est nécessaire. Les Tableaux des n°' 489

ALGÈBRE SUPÉRIKURE. 4^9

et 309 devraient être identiques, ainsi que les y?^. i et 2 qui les représentent graphiquement, puisque, lorsqu'on considère deux fonctions inverses (4il, 444), la relation entre les variables ce et y reste toujours la même. Mais l'équation exponentielle étudiée au n° 489 est/ = a^, tandis que celle adoptée au n"' 309 est a; = a^.

On a ainsi, en réalité, permuté x et j, et les résultats indiqués au n" 309 doivent présenter la même permutation relativement à ceux du n" i89. C'est ce qui a lieu, évidemment, pour les deux Tableaux et pour les deux figures.

Recherche de quelques limites.

510. Nous terminerons par la recherche de quelques limites, utiles à connaître, et qu'on peut trouver directement et simplement en s'appuyant sur les propriétés précédentes.

311. I. Oiiandx croit indéfiniment, le rapport. — ^^^— diminue ou croit, en tendant toujours indéfiniment vers zéro, suivant que a est plus grand ou plus petit que i.

Poura:=:co, le rapport considéré prend la forme indéter-

minée ± — (496). Nous allons lever cette indétermination

{Al g. élém., 119).

Si le noml)re x a j pour logarithme dans le système dont la base est a, on a, par définition (491),

log^x Y

x:=ay et — ■ r=z •-—.

I'» Soit t7 > I.

X et /croissent ensemble indéfiniment (491, 496). Mais, d'après la limite trouvée pour le rapport — , quand x, positif, croît indéfiniment (487), on voit immédiatement que le rap-

port inverse -^ ou ^ décroît et tend indéfiniment vers zéro, a^ aj '

lorsque x ou y croît indéfiniment. Il en est donc de même du

log^.r rapport —^—.

2° Soit a ■< I.

Pour que x croisse indéfiniment, il faut que j soit négatif et croisse indéfiniment en valeur absolue (309;. Posons donc

«-^^ («'>0 et y = -y' (7'>o).

On a alors

'aï- ~ ( I \-y ~~ ~âJr'' â'J

y' D'après ce qu'on vient de dire (i°), le rapport positif ^ dimi-

Cl •'

nue et tend indéfiniment vers zéro, quand j' croît indéfini-

ment. Le rapport négatit — ^. croîtra donc, en tendant également vers zéro, et il en sera de même du rapport — ^■^^— •