Soit la fonction
Admettons qu'en la résolvant par rapport à x, on en déduise
Les fonctions indiquées par les signes / et 9 sont, comme nous l'avons déjà dit (4ii), des fonctions inverses l'une de l'autre.
Comme les équations (i) et (2) sont la même équation sous deux formes différentes, elles donneront toutes deux les mêmes accroissements correspondants pour les variables x et/. En d'autres termes, si l'accroissement ^x conduit dans la première équation à l'accroissement Aj, l'accroissement Ay conduira nécessairement dans la seconde équation à l'accroissement I^x.
Cela posé, on aura (53i)
f ix) := hm -r^ =hm -r— =: r—
Ax Aj7 ,. ax
Aj Aj
9' il) 9'U\-^)]
On arrive donc à cette proposition importante (ool), connue sous le nom de théorème des fonctions inverses.
ALGÈBRE SUPÉRIEL'UE. 4^7
Quand deux fondions sont ùuerses au point ae vue algébrique, leurs dérivées sont inverses au point de vue arithmétique.
Supposons qu'on sache trouver la dérivée de la fonction ?(j) 6t qu'on ne connaisse pas encore la dérivée de la fonction f{x). Il suffira, pour obtenir f'{x), de prendre l'inverse —f-, — - de <o' {y) et d'y remplacer/ par/(^).
Différentiation des fonctions de foncti'^ns.
• o6i. Considérons une fonction de fonctions de x (559) définie par les équations
On voit que y dépend de u, qui dépend de v, qui dépond de X. Finalement, y dépend donc de x et est une fonction de fonctions de x. En éliminant v et u, on pourrait obtenir cette fonction sous la forme
j = Fi/[?(^)]|;
mais il est facile d'éviter cette substitution.
Supposons, en effet, qu'on donne à a? un accroissement Ix. Il en résultera pour v, u et y, les accroissements correspondants Ap, Au et Aj. On aura alors, identiquement,
ày ày A«f Ap
Aj? Aa A.Ç Ax
Si l'on fait tendre maintenant A.r indéfiniment vers zéro et si le nombre des fonctions superposées dans l'expression de j est fini, la limite du premier membre de l'identité (i) sera égale au produit des limites des facteurs du second membre (3i2), et il viendra, par définition (53i),
On peut donc énoncer cette règle fondamentale :
La dérivée d'une fonction de fonctions est égale au produit des dérivées des fonctions successives ^ chacune de ces dérivées étant prise par rapport à la variable dont la fonction consi" dérée dépend immédiatement.
565. Si l'on veut passer à la différentielle de j, on a (oi9)
dv
En substituant dans la relation (2) du n" 56i et en multipliant par dx, ij vient
dy=zY'{u)f'{^^)o'{x)dx.
Telle est l'expression du principe de la différentiation des fonctions de fonctions. Comme on a (553, 54^9)
d^ du'
du dT'
cf' (x) dx =z dv,
on peut encore écrire
ou, plus simplement,
dy du ■^ du dv
Il faut remarquer avec soin que dy et dv sont les différen-
. ,, , , . , ,. dv du
tielles de / et de v prises par rapport a x, tandis que ;t- et -7-
sont des symboles représentant les dérivées de / par rapport
dy à M et de u par rapport à v. Dans -f-y u représente la variable
du
du
indépendante; dans -1- -, u représente la fonction.
Expression de l'accroissement infiniment petit d'une fonction de plusieurs variables.
566. Nous avons déjà indiqué ce qu'on devait entendre par les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables, quand cette fonction était entière (332). Nous allons généraliser cette notion fondamentale, en y ajoutant celle des différentielles partielles et en considérant une fonction composée quelconque.
Nous prendrons d'abord une fonction y dépendant de deux variables u et v, et nous allons voir que l'accroissement infi-
nimenl petit d'une pareille fonction peut s'exprimer comme celui d'une fonction d'une seule variable, à l'aide d'une expression simple qui n'en diffère aussi que d'une portion infiniment petite de sa propre valeur.
Soit donc la fonction
Nous allons donner k u et h v des accroissements infiniment petits Am, Ap», qui seront ou non indépendants l'un de l'autre, suivant que les variables u et v seront ou non elles-mêmes indépendantes l'une de l'autre; / prendra alors un accroissement correspondant A/, et l'on aura
j+ Ay = /(;< -h A«, V -^ à.v)y
c'est-à-dire, par soustraction,
Aj = /( M -)- A//, V + Ar) — /( u, v).
En ajoutant et en retranchant dans le second membre la même quaniité/(« -\- A«, v), on peut évidemment mettre cette valeur de Aj sous la forme suivante (471) :
( +/(« + A«, (' + Ac) — /(« + Am, p).
Cela posé, désignons pour un instant "^d^v f[^{u, v) la dérii'ée partielle de f{u, ç) ou de y par rapport à u, c'està-dire la dérivée de la fonction prise en regardant u comme une variable indépendante et p comme une constante.
L'accroissement de la fonction, quand on donne à u seulement l'accroissement ^u, étant
nous pourrons alors écrire (545)
(2) f{u-+-àu,i>)—f{u,i') = [/',{u,^>) + a]^((,
a étant une quantité qui tend vers zéro et qui s'annule en même temps que Au.
De même, désignons par/'^(M + Am, v) \ix dérivée partielle de la fonction /(« -f- A«, ç) par rapport à v, c'est-à-dire la dérivée de cette fonction prise en regardant v à son tour comme une variable indépendante et u->rAu comme une constante.
46o ALGÈBRE SCPÉRIEURE.
L'accroissement de la fonction f{u-\-Ln,v), quand on donne à v seulement l'accroissement Ar, étant
f{u + A«, cH- A(') —/{u-h A«, v),
nous pourrons écrire encore (oio)
/{u-hAu, r+ Ar) —f{u + A«, (•) = [/;( m -h Aw, p) + [3] Ac,
!3 étant une quantité qui tend vers zéro et qui s'annule en même temps que Ap.
Il est clair d'ailleurs que, ?>ïf'^,{u, v) est la dérivée partielle de f{u, (') ou de y par rapport à v, elle ne peut différer de/^(a + A;/, r) que d'une quantité infiniment petite y qui s'annulera avec Am. En posant |3 + y = a', l'expression précédente deviendra donc
En ajoutant membre à membre les équations (i), (2), (3) et en simplifiant, il reste évidemment
A/ = [/'„(", O + «] Aa 4- [/;(«, P) + a'] Ac-.
ccAm est infiniment petit par rapport à la première partie de la valeur de Aj, et il en est de même de a' At- par rapport à la seconde partie de celte valeur (520, 530). Par suite, en désignant par w une quantité infiniment petite par rapport à Ar, on peut poser
0) = a A«-|- a' At»
et écrire
Aj =/'„(", <") A^< -i- /'.(", <') Ac^ + «•
C'est l'expression que nous voulions obtenir.
On représente ordinairement les deux dérivées partielles f'u{u, v) et/'^,(M, v) par les notations
d/{u,i) df{u,i-)
du
dv
ou
du dv
Seulement, il faut bien remarquer que, dans les expressions
-f-, -^-, les deux dy sont différents, puisqu'ils représentent du dv -^
respectivement les ditïérentielles de y relatives à la variation
d'une seule des variables u, c, ou les différentielles partielles
de / par rapport à « et par rapport à v.
ALGÈBRE SUPÉniEURE. 46l
Pour éviter toute ambiguïté, on pourrait écrire les deux dérivées partielles en les enveloppant ainsi de parenthèses :
du ) \ dv )
On les a supprimées, en comptant sur l'attention du lecteur bien prévenu.
Avec cette notation des dérivées partielles, on a
(5) Ar= -.-^A// + -j^ At^ + Gj.
-^ du dv
D'après ce qui précède, l'infinimenl petit d'ordre supérieur w se compose d'une première partie a Aw qui, divisée par A//, devient encore nulle pour Au = o, et d'une seconde partie a'Ac ou (j3 + y) A^- qui, après avoir été divisée par Ai', contient des termes s'annulant, les uns pour A«=zo, les autres pour Ai' = o.
On aurait des résultats analogues, comme il est facile de s'en assurer, pour un nombre quelconque de variables, dépendantes ou non les unes des autres ou d'autres variables.
Ces résultats vont nous conduire immédiatement à la différentiation des fonctions composées.
Différentiation des fonctions composées.
