Soit la fonction

et

y sera alors une fonction composée de x.

Nous aurons, d'après ce qu'on vient de démontrer (566), en supposant toujours des accroissements infiniment petits,

. dr y dy . dy .

■^ du dv d\v

w étant infiniment petit relativement à Ay.

En divisant par Ax les deux, membres de cette relation, il vient

Ay dy Au dy Av dy Aiv co

Ax du Ax dv Ax dw Ax ' ' ' Ax

462 ALGÈBRE SrPÉRIEURE.

En passant alors aux limites (o3i), ce qui est permis si le

nombre des variables u, v, w, . . ., est limité (341), on trouve

')) évidemment (343), puisque (56G) -^ devient nul,

(i) dj ^ dy du ^ dy ùv^

^ ^ dx du dx dv dx

dy dw dw dx

> sont les dérivées partielles de la fonction j jiar

11 ne faut pas oublier (566) que, dans cette expression, -j-^

dy^ dy^ dv dw

,•«.- • 1 1 j- du

rapport aux différentes variables u, v, w, . . ., tandis que — ■.

-— , — — , . • -, sont les dérivées des variables ou des fonctions dx dx

u, V, w, . . ., par rapport à x.

Quant au premier membre de l'expression (i), c'est, si l'on veut, la dérivée complète de la fonction y, dans laquelle on fait varier toutes les quantités dépendantes de x.

On peut observer à ce sujet que, s'il arrivait qu'on eût, par

dy exemple, u^r^x, -i- deviendrait, dans le second membre de ' du

l'expression (i), ~ et serait la dérivée partielle de la fonction par rapport à x seulement, le premier membre représentant toujours sa dérivée comp'He.

En résumé :

La dérivée de la fonction composée y est la somme de toutes ses dérivées partielles par rapport aux variables dont elle dépend, chaque dérivée partielle étant multipliée par la dérivée de la variable correspondante par rapport à x.

En multipliant les deux membres de l'égalité (i) par dx^ on a (549)

dy ^=^ ~ du -\ j^ dv -{- -^ dw + . .

•^ du dv dw

Si l'on regardait u comme seule variable, on aurait (549), pour la différentielle dy,

dv=^ —-du.

-' du

ALGÈBKE SUPÉRIEURE. 4^3

On peut donc dire, dans le cas de plusieurs variables, que -j-dii est la différentielle partielle de la fonction y relativement à u.

D'après l'expression (2), le principe de la dijjérentiation des Jonctions composées s'énoncera alors comme il suit :

La différentielle d'une fonction composée est égale à la somme de ses différentielles partielles pai' rapport à chacune des variables qui y entrent explicitement.