Soit la fonction logarithmique simple (557) 7=ilog
Les logarithmes sont rapportés à ane base positive quelconque a.
En suivant la marche indiquée au n» 561, si l'on donne à X, à partir d'une valeur déterminée quelconque, un accroissement ^x, y prend un accroissement A/, et l'on a
y 4- A7 = Iog(^ 4- !ix).
On en déduit, ])ar soustraction,
A/ = l0g(.37 + ^x) — log^ = log ^ log { I H I
et, en divisant par ^.x,
Av '^ V .r
Si l'on fait tendre ^x vers zéro, il en est de même de te' fraction Le numérateur du second membre de l'éga-
lité (i) tend donc vers logi ou vers zéro (496). Par suite, la
,. . , Av , , „ o
limite de -^ se présente sous la lorme -• A>37 o
Pour lever cette indétermination, qui n'est qu'apparente,
ALGÈliKE SUPÉRtEURE. 483
nous poserons
— = a, a ou ù.x^=(xx,
et a tendra vers zéro en môme temps que ^x.
Eu substituant dans le second membre de l'égalité (i), il viendra
A 1 / X -fog-(i-i-a) , ^ i
Ar log(i 4- a) a ^^ ^ log(i + «) ^
Pour passer à la limite, il faut faire tendre a indéfini-
ment vers zéro; mais alors (416) la limite de (r+ y.y- est le nombre e, base du système des logarithmes népériens (oOi). Comme la limite du logarithme d'un nombre est évidemment égale au logarithme de la limite de ce nombre, on a finalement
„ , dv loge
D log^ = -7- = — ^dx X
et
j! ^ loge ,
alos;x^=ay =: — ^^ — dx,
(]uel que soit le système de logarithmes considéré.
On voit que la dérivée de logic est égale à Vinver&e de la variable, multiplié par le module relatif M =: \oge, à l'aide duquel s'effectue le passage des logarithmes népériens aux logarithmes employés (500).
586. Dans le cas où « = 10, c'est-îi-dire où l'on emploie les logarithmes vulgaires, on a (50G)
M = Ioge = j--^ =0,4342944819
D'une manière générale, et L désignant les logarithmes népériens (505), on a (500)
On peut donc encore écrii'e
dv I , dx
-j- = -T~ et dy = — T— ■ dx X La " XL. a
Si l'on suppose a = e, il vient
el l'on a
DL;r:=-^ = — , aLo^ = «)■= — .
dx X "" X
Ainsi, quand on fait usage du système népérien, la dérivée de Lx est simplement égaie à l'inverse de la variable.
On donne à la différentielle — ^ le nom de différentielle
logarithmique de x (oT2).
