Lorsque la variable x est remplacée par une fonction

de œ, on n'a qu'à appliquer le principe de la dilTérentiation

des fonctions de fonctions (565).

Soient

jK = log« et u^=o{x).

Nous aurons

dv loge du , loge ,

dx u dx u

Si l'on a. par exemple, u = x"\ il vient (576)

dv \oze ,„ , /n lose , /n loge , -^ =: — '— mx'"~^ = — , dy = -— dx.

588. La règle de différentiaiion de la fonction logarithmique peut être très souvent appliquée à la recherche des différentielles d'autres fonctions.

Soit, par exemple, la fonction

où u est une fonction de x, et que nous avons déjà considérée (576).

En supposant m quelconque et en prenant les logarithmes des deux membres dans le système népérien (505), il vient

Ij' = m lu ;

d'oij, en prenant les différentielles des deux membres de cette nouvelle égalité (586, 57j ),

dy du

Il en résulte, en multipliant de part et d'autre par 7= «'",

dy ■= d{ u"') = mu'"-^ du,

comme précédemment, mais bien plus rapidement (576). Soit encore le produit

où u, p, t, sont des fonctions de x.

Supposons qu'il puisse y avoir des facteurs négatifs. Pour tourner cette difficulté, puisque les nombres négatifs n'ont p,as de logarithmes réels (491), élevons les deux membres de l'égalité au carré et prenons leurs logarithmes népériens. Xous aurons (493)

ly'^'—lu^-^lv"-^ lt\

En différentiant les deux membres de cette nouvelle égalité, il vient (586, 576)

dv- du' dv"^ dt^

r^ u- ('^ C^ ou

2 r dv 1 u du Q.v dv it dt

c'est-à-dire, en divisant par 2 et en simplinant,

dy du dv dt y ~ u V t'

comme précédemment (573).

Différentiation de la fonction exponentielle.