Soit la fonction exponentielle simple (557) y — a

;iù a est un nombre quelconque positif.

Nous déterminerons d'abord directement sa différentielle i>n suivant la marche indiquée au n° 561.

Donnons à ^, à partir d'une valeur déterminée quelconq ue, lin accroissement A^. Il en résultera pour y un accroissement A}', et l'on aura

/\S() ALGÈBB.E SUPÉRIEUUE

d'où, par soustraction-,

A/ = a^+^a; ^a: ^x ( Q Ax I )

ef, en divisant par Ajc,

, , Ay a^^ — 1

Ax A^

Si l'on fait tendre A^ vers zéro, que a soit plus gran<1 on plus petit que i, la limite de a^^ est i (482). Par suite, la limite de -p- se présente sous la forme -•

Ax ^ G

Pour faire disparaître cette indétermination, qui n'est qu'apparente, posons

a^^ — I zrz a,

a tendant vers zéro en même temps que h.x. De cette relation on déduit d'ailleurs

et, en prenant les logarithmes des deux membres dans un système quelconque,

A^loga:= log(i 4- a), d'où

log(i-+-a)

loga

En remplaçant, dans l'égalité (i), a^^ — i et A^ par les valeurs que nous venons d'indiquer, nous nx)uverons

Av a lo2:a lo^a

Ax lo2(i-i-a) ' , / V -

loga -l08(i-h«) log(i + a)«

a et Ax tendant simultanément vers zéro et la limite de log(i H- a)^ pour a = o étant e, nous aurons finalement

I)a-=.^ = «-|^, da^=dy=a^^^dx.

dx loge loge

Remarquons que ces expressions subsistent, quel que soit le système de logarithmes adopté; car le rapport des logarithmes de deux nombres quelconques demeure construit quand on passe d'un système à un autre (502).

ALGÎiBiIlE SXJiPÉiRilEUIlE. 4^7

On voit que la dérivée de la fonction exponentielle est égale à la fonction elle-même, multipliée par le rapport des logarithmes du nombre a et de la base népérienne.