Si l'on emploie le système vulgaire, on a

los« = i et Mi=-i r=L. lo = 2,3025850020. . .,

M, étant le module relatif qui permet de revenir des logarithmes vulgaires aux logarithmes népériens (506).

Si l'on emploie le système népérien, on a /e = i et, par suite,

Da-^ = -f- = a^ la, da^ ^^dy ■=. a^ la dx.

dx -^

591. Si a devient égal à e, la fonction exponentielle devient

y = e^, et l'on a

De-^ =: -^ = e^, de^ =^ dv ^= e^ dx .

dx -^

Il en résulte ce fait remarquable : la fonction e^ est égale à sa dérivée, de sorte qu'elle se reproduit IndéfinimeTit par dérivations successives.

592. Lorsque la variable x est remplacée par une fonction de X, on n'a qu'à appliquer le principe de la différentiation des fonctions de fonctions.

Soient

y z^ a'^ et « = 9(0^).

Nous aurons, en prenant les logarithmes népériens,

Da"= ^ —a'' la — , da''= dv = a" ladu. dx dx

593. Cherchons maintenant la différentielle de la fonction exponentielle, en la ramenant à celle de la fonction logarithmique. Le résultat sera presque immédiat.

Soit la fonction

Prenons les logarithmes des deux membres, dans le sys-

tème népérien pour plus de simplicité. Nous aurons ly ^=^ la^= X la.

En différentiant les deux membres, il vient

-^— z=z la dx,

d'où, en multipliant de part et d'autre par / = a^,

dy dy^ia^ladx et -^ =i a^ la, dx

comme précédemment (590).

59^. Supposons, inversement, qu'on veuille déduire la différentielle de la fonction logarithmique de celle de la fonction exponentielle.

Soit la fonction

les logarithmes étant pris dans le système dont la base est a. On en déduit la fonction inverse (507)

X = ay,

dont la dérivée est (589)

dx loga

dy loge

Les logarithmes étant rapportés à la base a et a^ étant x,

il vient

, dx X

dy ~~ loge'

c'est-à-dire (563), pour la fonction logarithmique,

^^i^loge ^^ dy=^^dx, dx dx X •" X

comme précédemment (585).

Différentiation de «".