DEUXIÈME GROUPE : TANGENTE ET COTANGENTE

601. Nous chercherons d'abord directement la différentielle de la fonction

j:= tango;.

En donnant à ^ l'accroissement A^, on fait prendre à y l'accroissement Aj, et l'on a

y -\- A/ = tang(^ -t- Aa;);

d'où, par soustraction,

Aj = tang(^ + Ace) — tango; et, en divisant par A^,

A/ tang(^ + A^) — tango;

Quand Ao; tend vers zéro, le numérateur du second membre

Aide l'égalité (i) tend aussi vers zéro. La limite de -i~- se présente donc sous la forme -•

Pour lever cette indétermination apparente, remarquons que, d'une manière générale {Trigon., 00),

, , tangr/ — tansrè

tang(a — b)^= ' — j •

H-tangatang6

Si l'on pose

il en résulte

. lan2:Cx -I- Ao;) — tango;

tang Ao; = 'f^ — — — -^ — ,

I 4- tang(o- 4- Ao;) tango?

et l'on en déduit

iang(.r M- A>r) — tango; = [i + tang(o7 -i- Ao;) lang.r] tang Ao-,

De C. — Cours. Ul. Sa

49^ ALGÈBRE SLI'CIIIEURE.

c'esl-à-dire

-r^ = [i + tang(a; + A^) tangjc] — ^ — '--

tan"' A^ Si l'on fait tendre Ax vers zéro, le rapport — ^ tend vers

l'unité {Trigon., lOi), et l'on a, par conséquent, en passant à la limite {Trigon., 36)

I 4- tanir-.r := sec-.3: =

dx '^ cos- jc

et

7 , O N 7 dX

dv = (i + lans-^) dx z= ■ -— •