TROISIÈME GROUPE : SÉCANTE ET COSÉCAXTE

605. Pour différentier la fonction sécante, il suffit de poser

( Trigon., 34)

y ^ sec^ ^

•^ cosx

On n'a plus alors qu'à appliquer le théorème des fonctions

de fonctions, en remarquant que les fonctions superposées

sont ici la fonction quotient et la fonction cosinus. Il vient

donc

/ I \ , . , , sin.r

dy =:z i r— ( — sina: dx) =i ~ — -— dx

^ \ cos'-xj cos^^

ou encore

7 dv

dy := sec xlan g X dx, -j— =^s,ecxlangx.

La dérivée de la sécante d'un arc est égale au produit de cette sécante par la tangente du même arc.

On voit que la sécante croît quand l'arc croît de o à ;:, qu'elle décroît quand l'arc croît de ti à 27:, etc. {Trigon., 31), sauf les points où la fonction est discontinue.

606. Pour avoir la dérivée de sécx, on peut aussi avoir recours aux considérations géométriques.

Reportons-nous (603) à la fig. 8. Si l'on a XM = x et MM' = \x. on aura, pour la fonction

Y = séc.r = OT,

l'accroissement correspondant A)=NT'. D'ailleurs, la relation (603)

TN OT 1 ÂiM' ~ OÂ "" cosa-

ALGEBRE SUPERIEURE.

5oi

existe toujours. De plus, à la limite, le triangle TNT', semblable au triangle OAT, donne (Trigon., 142)

NT' = TN tang^ ou jrrrp = VTTT' lang-^,

c'est-à-dire

dr tanij.r

-^ = — '-— = secx tani^jc,

ctx cosa:

comme précédemment.