Soit, enfin, la fonction

jz= arc coséca:;.

Il en résulte

ce =: coséc r.

Par suite (607),

, cosv , , ,

a^ = r-i— av =: — cosec v coty dy,

sin-/ " . y . '

d'où {Trigon., 36)

sin^y d.x dx

^ ~ cos/ ^ ~ coséc J col/ ~ a; \/'J^F— i

et

Nous avons un double signe dans ces formules, en raison

du radical y/^^ — i. En effet, si l'on représente par/o l'un des arcs qui ont x pour cosécante, tous les autres sont compris dans les formules {Trigon., 41)

2A-7r+Vo et (2A-+i)7: — yQ.

Mais, dans l'application, si l'arc/ est indiqué, il n'y a plus d'ambiguïté ; car le radical \Jx- — i ou y/coséc-j — i, remplaçant cot 1', doit recevoir le signe de cette cotangente. Dans ce cas, la dérivée et la différentielle de arccoséc^ ont un signe contraire à celui de cotj-.

620. On peut aussi trouver la dérivée de arc coséc par des considérations géométriques. Le lecteur s'en assurera facilement, d'après ce qui précède.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SoQ

Nous remarquerons seulement que, pour une même valeur de X, et en tenant compte du double signe du radical v/j;^ — i, les dérivées des deux fonctions arcséca; et arc coséc^ sont, d'une manière générale, égales et de signes contraires ou égales et de même signe.

En effet, soit / l'un des arcs dont la sécante est x. Les

deux arcs y et/ auront alors tous deux x pour co-

sécante ( Irigon., 8, 19, 29). Des relations

arc seco; := arc coseca:,

arc sec J7 ^ arc coseco?,

on déduit

arc sec^ ± arc cosec^ = -■

La somme ou la différence de arcséco: et de arccoséca? étant égale à une constante, les dérivées des deux fonctions doivent bien être égales et de signes contraires ou égales et de même signe.

EXESIPLES.